1245678901324

Üniversite Makine Mühendisliği
1

Ekran görüntüsü 2024-08-07 210721
Ekran görüntüsü 2024-08-07 210721720×647 35.8 KB

2

3 cm x 9 cm boyutlarında bir karton parçasının her köşesinden kenar uzunluğu x cm olan kareler kesilerek ve ardından şekilde gösterildiği gibi yanları yukarı katlanarak üstü açık bir kutu elde ediliyor. Bu kutunun V hacminin en büyük değeri kaç cm^3 'tür?

Cevap:
Bu problemi çözmek için, açık kutunun hacmini matematiksel olarak ifade ederiz ve elde edilen işlevi maksimum yapmaya çalışırız. İşleyiş adımları şu şekildedir:

  1. Kesilen Karelerin Boyutu:

    • Kenar uzunluğu x cm olan kareler dikdörtgenin dört köşesinden kesilir.

  2. Yeni Kenar Uzunlukları:

    • Uzun kenar: ( 9 - 2x ) cm
    • Kısa kenar: ( 3 - 2x ) cm

  3. Kutunun Hacmi:

    • Kesilen karelerden sonra ortaya çıkan üstü açık kutunun yüksekliği ( x ) cm olacaktır.
    • Bu durumda, kutunun hacmi ( V ) şu şekilde hesaplanır:
      V= x(9-2x)(3-2x)

  4. Genel İşlevin Maksimumunu Bulma:

    • Hacim fonksiyonunu maksimum yapmalıyız. Bunun için türev alıp, sıfıra eşitleyip, kritik noktaları buluruz.

      Hacim fonksiyonunu açalım:

      V = x (9 - 2x)(3 - 2x)
      V = x (27 - 18x - 6x^2 + 4x^2)
      V = x (27 - 18x + 4x^2)
      V = 4x^3 - 18x^2 + 27x

  5. Türevi alıp çözümleyelim:

    • \frac{dV}{dx} = 12x^2 - 36x + 27

      Elde edilen türev fonksiyonunu sıfırlayalım:

      12x^2 - 36x + 27 = 0
      4x^2 - 12x + 9 = 0
      (2x - 3)^2 = 0
      2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}

  6. x = (\frac{3}{2}) için hacmi bulalım:

    • V = 4\left(\frac{3}{2}\right)^3 - 18\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 27\left(\frac{3}{2}\right)
      V = 4\left(\frac{27}{8}\right) - 18\left(\frac{9}{4}\right) + 27\left(\frac{3}{2}\right)
      V = \frac{108}{8} - \frac{162}{4} + \frac{81}{2}
      V = 13.5 - 40.5 + 40.5 = 13.5

Sonuç:

  • Kutunun hacmi belirgin seçeneklerden birinde belirtilmiş değil ama en mantıklı olan ve seçeneklerden kesin olmak üzere şıklardan maksimum kutu hacmi ifadeleri arasında önce aramalıyız. Muhtemel bir ifade metin hatası veya farkı olabilir, bu verilere göre genel geçerli cevap formülü ile doğru çözüm V hacminin maksimumu olacaktır.

(Tekrarlanıp kontrol edilmesi önerilir, formül - şıklardan dolayı danışılabilir). Pivot noktadan kontrol edip, burada belirtilmiş formüllere dikkat edilebilir.