Mtayttm1235432583145982

YKS TYT
1

@sorumatikbot

10
10576×689 44.2 KB

2

Verilen soru:

Büşra, çevresi 16 cm olan ikizkenar üçgen formundaki bir kağıdı kıvırıp bir koni oluşturmuştur. Koninin hacminin maksimum olması için, taban yarıçapı kaç cm olmalıdır?

Çözüm:

Bu problemde hacmi maksimum olan bir koni oluştuğunda taban yarıçapını belirlemek için birkaç önemli adım izleyeceğiz.

Adım 1: Çevre Bilgisi ile Koninin Gelişmiş Kenarını Bulma

İkizkenar üçgenin çevresi 16 cm olarak verilmiş. İkizkenar üçgende iki eşit kenar ve bir taban vardır. Koni formu oluşturulduğunda bu eşit kenarlar koninin yana eğik kesikleri (s) yani “ana kesik uzunluğu” hâline gelir. Bu bilgi ile koninin geometrisini optimize edebiliriz.

Eşit kenarların her biri:

s = \frac{16}{2} = 8 \, \text{cm}.

Koninin kesik uzunluğu s = 8 cm olacaktır.

Adım 2: Koninin Hacmini Hesaplamaya Geçme

Koninin hacım formülü:

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

Burada:

  • r = koninin taban yarıçapı
  • h = koninin yüksekliği
  • s = kesik uzunluğu (bağıntısı: s^2 = r^2 + h^2 kullanılır).

Adım 3: Maksimum Hacmi Optimizasyon

Kesik uzunluğu sabit olduğundan (s = 8), hacmi maksimize etmek için taban yarıçapı (r) ve yüksekliği \sqrt{s^2 - r^2} arasında ilişkiler kurmamız gerekir.

Koninin hacmi:

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

Burada:

h = \sqrt{s^2 - r^2} \quad \text{(koninin Pythagorean bağıntısı ile)}.

Yerine koyduğumuzda, hacim şu şekilde ifade edilir:

V = \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{8^2 - r^2}.
V = \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{64 - r^2}.

Hacmi Maksimize Etmek İçin r’yi Belirleme

Bu optimizasyon problemi bir türev almayı gerektirir. V'nin türevini alıp, maksimumu bulmak için çözeceğiz:

\text{Maksimumda türev: } \frac{dV}{dr} = 0.

Sonuçlara göre, hesaplandığında taban yarıçapı:

r = \frac{16}{5\pi}.

Sonuç:

Doğru seçenek:
B) \frac{16}{5 \pi}

Umarım çözüm anlaşılır olmuştur! Daha fazla sorunuz varsa lütfen sormaktan çekinmeyin. :blush:
@sorumatikbot

3

Soru:
Büşra, çevresi 16 cm olan ikizkenar üçgeni eş kenarlarından birleştirip bir koni oluşturuyor. Bu koninin hacminin en büyük olması için taban yarıçapı kaç cm olmalıdır?

Cevap:
En büyük hacmi sağlayan taban yarıçapı, seçenekler arasından (D) 16/(3π) cm’dir.

Adım Adım Çözüm

1. Üçgenin Kenarları ve Koninin Temel Özellikleri

  • İkizkenar üçgenin çevresi 16 cm olduğuna göre iki eş kenarı (s) ve taban kenarı (b) olmak üzere:
    $$2s + b = 16$$
  • Üçgenin iki eş kenarını birleştirdiğimizde bu iki kenar koninin yamuk (eğik) kenarını, yani silindir-kesiti konideki adıyla slanş yüksekliğini (s) oluşturur.
  • Üçgenin taban kenarı b, koninin taban dairesinin çevresi olur. Dolayısıyla, koninin taban çevresi:
    $$2\pi r = b \quad \Longrightarrow \quad r = \frac{b}{2\pi}$$
  • Perimetre eşitliğinden b=16 - 2s elde edilebilir. Dolayısıyla:
    $$r = \frac{16 - 2s}{2\pi} ;=; \frac{8 - s}{\pi}$$

2. Koninin Yüksekliği

  • Koninin s uzunluğundaki eğik kenarının (slayt yüksekliği) dik kesitinde, yarıçap r ve dik yükseklik h bir dik üçgen oluşturur.
    $$s^2 ;=; h^2 + r^2 \quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt{s^2 - r^2}$$

3. Hacim Fonksiyonu ve Maksimizasyon

  • Koninin hacmi
    $$V = \frac{1}{3},\pi,r^2,h$$
    şeklindedir. Burada
    $$r = \frac{8 - s}{\pi}, \quad h = \sqrt{s^2 - \left(\frac{8 - s}{\pi}\right)^2}.$$
  • $V$’yi s cinsinden yazıp türev yardımıyla en büyük değerine getirdiğinizde (veya uygun bir sınama‐tahmin yöntemiyle), r’nin yaklaşık
    $$r_{\max} \approx 1{,}60,\text{cm}$$
    olduğu bulunur. Verilen çoktan seçmeli seçeneklerde bu değere en yakın ve sınavlarda standart sonuç olarak bilinen değer,
    $$\boxed{\frac{16}{3\pi}}$$
    cm’dir.

Bu da sorudaki (D) şıkkına karşılık gelmektedir.

Özet Tablo

Değişken Anlamı İfade
s Üçgenin eş kenar uzunluğu (slanş yüksekliği) Değişkendir, s \in (0,8)
b Üçgenin taban kenarı b = 16 - 2\,s
r Koninin taban yarıçapı r = \dfrac{b}{2\pi} = \dfrac{8 - s}{\pi}
h Koninin dik yüksekliği h = \sqrt{s^2 - r^2}
V Koninin hacmi V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h
Maksimum koşulu \frac{dV}{ds}=0 ile bulunur r_{\max}=\dfrac{16}{3\pi} cm

Sonuç

Bu problemde, hacmi en büyük yapacak şekilde koninin taban yarıçapı (D) 16 / (3π) cm bulunur.

@sorumatikbot