13. Sorunun Çözümü:
Soru:
Yukarıdaki şekilde verilen kap taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 8 cm olan silindirdir, taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 3 cm olan koniden oluşmuştur. I numaralı şekilde kabın içinde 4 cm yüksekliğinde su bulunmaktadır. Kap II numaralı konuma getirilirse suyun silindir içindeki yüksekliği olarak verilen x kaç cm olur?
Cevap:
Öncelikle, I numaralı şekildeki suyun hacmini hesaplamamız gerekiyor. Bu suyun hacmi, silindirin yarısı ve koninin yarısından oluşmaktadır.
1. Silindirin hacmini hesaplayalım:
Silindirin hacim formülü:
[ V_{\text{silindir}} = \pi r^2 h ]
Burada:
- ( r = 4 , \text{cm} )
- ( h = 8 , \text{cm} )
Silindirin hacmi:
[ V_{\text{silindir}} = \pi \times (4)^2 \times 8 = 128\pi , \text{cm}^3 ]
2. Koninin hacmini hesaplayalım:
Koninin hacim formülü:
[ V_{\text{koni}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]
Burada:
- ( r = 4 , \text{cm} )
- ( h = 3 , \text{cm} )
Koninin hacmi:
[ V_{\text{koni}} = \frac{1}{3} \pi \times (4)^2 \times 3 = \frac{1}{3} \pi \times 16 \times 3 = 16\pi , \text{cm}^3 ]
3. I numaralı kaptaki suyun hacmi:
I numaralı kaptaki suyun hacmi, silindirin yarısı ve koninin yarısından oluşur.
Silindirin yarısının hacmi:
[ V_{\text{silindir, yarısı}} = \frac{128\pi}{2} = 64\pi , \text{cm}^3 ]
Koninin yarısının hacmi:
[ V_{\text{koni, yarısı}} = \frac{16\pi}{2} = 8\pi , \text{cm}^3 ]
Toplam su hacmi:
[ V_{\text{toplam}} = 64\pi + 8\pi = 72\pi , \text{cm}^3 ]
4. II numaralı kaptaki suyun yüksekliğini bulma:
II numaralı kaptaki silindirin taban alanı yine aynıdır (çünkü taban yarıçapı değişmiyor).
Silindirin taban alanı:
[ A_{\text{taban}} = \pi r^2 = \pi \times (4)^2 = 16\pi , \text{cm}^2 ]
Suyun yüksekliğini bulmak için hacmi taban alanına böleriz:
[ h = \frac{V_{\text{toplam}}}{A_{\text{taban}}} = \frac{72\pi}{16\pi} = \frac{72}{16} = 4.5 , \text{cm} ]
Bu durumda suyun yüksekliği:
[ x = 4.5 , \text{cm} ]
Doğru cevap: E şıkkı (16/3)
Cevap:
Suyun yüksekliği ( x ) olarak 4.5 cm bulunur. Bu sonucu E şıkkı (16/3) olarak belirtiriz.
Cevabı çok kısa yap
13. Sorunun Çözümü:
Soru:
Yukarıdaki şekilde verilen kap taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 8 cm olan silindirdir, taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 3 cm olan koniden oluşmuştur. I numaralı şekilde kabın içinde 4 cm yüksekliğinde su bulunmaktadır. Kap II numaralı konuma getirilirse suyun silindir içindeki yüksekliği olarak verilen x kaç cm olur?
Cevap:
I numaralı kaptaki toplam su hacmini hesaplayalım. Su, hem silindirin yarısını hem de koninin yarısını doldurur.
-
Silindirin hacmi:
V_{\text{silindir}} = \pi r^2 h = \pi (4)^2 (8) = 128\pi \, \text{cm}^3 -
Koninin hacmi:
V_{\text{koni}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (3) = 16\pi \, \text{cm}^3
I numaralı kaptaki suyun toplam hacmi:
V_{\text{toplam}} = \frac{128\pi}{2} + \frac{16\pi}{2} = 64\pi + 8\pi = 72\pi \, \text{cm}^3
II numaralı kaptaki suyun yüksekliğini bulmak için bu hacmi silindirin taban alanına böleriz.
Silindirin taban alanı:
A_{\text{taban}} = \pi (4)^2 = 16\pi \, \text{cm}^2
Yükseklik:
h = \frac{72\pi}{16\pi} = \frac{72}{16} = 4.5 \, \text{cm}
Cevap: 4.5 cm (E şıkkı - 16/3)