Tayt ve orantı vardır avşinin ve orantı problemleri ve orantı ya tuty

YKS TYT
1

17409081050762303717077054785305
17409081050762303717077054785305720×960 21.1 KB

2

Soru:

Verilen orantılar doğrultusunda aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?

Orantılar:

\frac{a}{b} = \frac{d}{c} = \frac{e}{f} = \frac{h}{g} = 2

İşlem:

\frac{\frac{b}{d} \cdot (a)^2}{c^2 \cdot f \cdot h} \div \frac{g}{e}

Çözüm:

Adım 1: Orantıların Temelini Belirlemek

Tüm orantılar \frac{a}{b} = \frac{d}{c} = \frac{e}{f} = \frac{h}{g} = 2 olduğu için her bir harfin bir diğerine bağlı bir şekilde ifade edilebileceğini biliyoruz. Şimdi harfleri uygun şekilde yerine yazabiliriz:

  • a = 2b,
  • d = 2c,
  • e = 2f,
  • h = 2g.

Bu temel ilişkiler tüm işlem boyunca kullanılacaktır.

Adım 2: Verilen İşlemi Yazalım

Soruda verilen işlem şudur:

\frac{\frac{b}{d} \cdot (a)^2}{c^2 \cdot f \cdot h} \div \frac{g}{e}.

Bu ifadeyi sadeleştirmeye başlayalım.

Adım 3: Oranların Harflerle Yerine Yazılması

  1. İlk kesirin pay ve paydasını düzenlersek:

    • \frac{b}{d} = \frac{b}{2c} (çünkü d = 2c),
    • (a)^2 = (2b)^2 = 4b^2.

    Sonuç:

    \frac{b}{d} \cdot (a)^2 = \frac{b}{2c} \cdot 4b^2 = \frac{4b^3}{2c} = \frac{2b^3}{c}.

  2. İlk kesirin paydasındaki diğer ifadeleri açalım:

    • c^2 = c^2 (bu zaten sabit),
    • f \cdot h = f \cdot 2g = 2fg (çünkü h = 2g).

    Sonuç (ilk kesir sadeleşmiş hali):

    \frac{\frac{b}{d} \cdot (a)^2}{c^2 \cdot f \cdot h} = \frac{\frac{2b^3}{c}}{c^2 \cdot 2fg} = \frac{2b^3}{c \cdot c^2 \cdot 2fg} = \frac{b^3}{c^3 \cdot fg}.

  3. İkinci kesir (bölme işlemi) \frac{g}{e}'yi düzenleyelim:

    • g / e = g / 2f (çünkü e = 2f).

Adım 4: Bölme İşlemini Yapma

Sorudaki bölme işlemi:

\frac{\frac{b^3}{c^3 \cdot fg}}{\frac{g}{2f}}.

Bu bölme işlemini çarpmaya çevirirsek:

\frac{b^3}{c^3 \cdot fg} \cdot \frac{2f}{g} = \frac{b^3 \cdot 2f}{c^3 \cdot fg \cdot g}.

Pay ve paydayı düzenleyelim:

  • Pay: b^3 \cdot 2f,
  • Payda: c^3 \cdot f \cdot g^2.

Sadelik yapılırsa:

\frac{b^3 \cdot 2}{c^3 \cdot g^2}.

Adım 5: Harflerin Yerine Yazılması

Son olarak, hatırlıyoruz ki tüm orantılar \frac{b}{c} = 2 ve \frac{g}{f} = 2 idi. Şimdi bu oranları kullanarak b = 2c ve g = 2f yerine yazalım:

  1. b^3 = (2c)^3 = 8c^3,
  2. g^2 = (2f)^2 = 4f^2.

Bu ifadeleri yerine koyarsak:

\frac{b^3 \cdot 2}{c^3 \cdot g^2} = \frac{8c^3 \cdot 2}{c^3 \cdot 4f^2}.

Pay ve paydayı sadeleştirirsek:

\frac{16c^3}{4c^3 \cdot f^2} = \frac{16}{4f^2} = \frac{4}{f^2}.

Sonuç:
İşlemin sonucu, f^2 ile sadeleştirildiğinde 4 bulunur.