f’(3) Değerini Bulma
Soruda, f(x) fonksiyonu ve g(x) fonksiyonu x = 3 noktasında türevlenebilir olduğu belirtilmiş. f(x) fonksiyonu ve g(x) fonksiyon değerleri aşağıda verilmiş:
Fonksiyonlar:
- f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{g(x)}
- g(x) = g(3) = -2
Bizden, f'(3) değerini bulmamız isteniyor.
Çözüm Aşamaları:
1. Türevin Tanımı ve Formülü:
Fonksiyonun türevini bölüm türevi formulü ile alacağız. Bölüm türevi, aşağıdaki şekilde uygulanır:
\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}
Bu durumda:
- u(x) = x^2 - 2x - 3
- v(x) = g(x)
2. u'(x) ve u(3) Hesaplanması:
u(x) = x^2 - 2x - 3 fonksiyonunun türevini alalım:
u'(x) = 2x - 2
x = 3 için:
u(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0
u'(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4
3. v'(x) ve v(3) Hesaplanması:
v(x) = g(x) fonksiyonunun türevi olan g'(3) değerini bizden türevlenebilir olduğuna göre mekanizma gereği bulmalıyız. Soruda direk türevlenebilir işe bu türev g’nin türev ve u değerlerini ekler.
g değer eiyil