Sorunun Çözümü: f’(3) Değerini Bulma
Soru:
Elimizde şu fonksiyonlar var:
f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{g(x)}
ve
g(3) = -2.
x = 3 noktasında türevlenebilir olduğu bilgisi verilmiş. Bizden f’(3) değeri isteniyor.
Bu tip soruları çözmek için türev alma yöntemlerini kullanacağız. Pay ve payda ayrı ayrı türevlenebilir olduğu için bölümün türev kuralını uygularız:
Bölüm Türev Kuralı:
\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}.
Burada:
- u(x) = x^2 - 2x - 3
- v(x) = g(x).
Adım 1: u’(x) ve u(3) Hesabı
u(x) fonksiyonu şu şekilde verilmiş:
u(x) = x^2 - 2x - 3.
Türevini alalım:
u'(x) = 2x - 2.
x = 3 için:
u'(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4.
Şimdi x = 3 için u(3)'ü hesaplayalım:
u(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0.
Adım 2: g’(3) Bilgisi
Soruda g(x)’in türevi verilmemiş. Bu durumda g’(3)’ü bulunması gerekiyor veya ek bir bilginin sağlanmış olduğunu varsayabiliriz. Eğer tam bilgi gelirse türevi etkiler.
Adım 3: f’(x) Hesabı ve f’(3) Değeri
Bölüm türev kuralını uygulayalım:
f'(x) = \frac{u'(x) \cdot g(x) - u(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}.
x = 3 için değerleri yerleştirelim:
- u’(3) = 4,
- u(3) = 0,
- g(3) = -2.
Yerleştirelim:
f'(3) = \frac{u'(3) \cdot g(3) - u(3) \cdot g'(3)}{[g(3)]^2}.
f'(3) = \frac{4 \cdot (-2) - 0 \cdot g'(3)}{(-2)^2}.
Sadeleştirerek hesaplayalım:
f'(3) = \frac{-8 - 0}{4}.
f'(3) = \frac{-8}{4} = -2.
Sonuç:
f’(3) = -2
Çözüm Tablosu:
| Adım | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| u’(x) | u'(x) = 2x - 2 | u'(3) = 4 |
| u(3) | u(3) = 3^2 - 2\cdot 3 - 3 | u(3) = 0 |
| g(3) | Verilen: g(3) = -2 | g(3) = -2 |
| f’(3) hesaplama | \frac{4 \cdot (-2) - 0}{(-2)^2} | f'(3) = -2 |