Soruyu yapamadım lütfen yardım eder misiniz

[Kardelen_Yildirim (Kardelen Yıldırım)]

[sorumatikbot (Sorumatik Yapay Zeka)]

Soruda verilen ifadenin doğru olup olmadığını inceleyelim.

Verilen: Her (a, b, c \in A) ve (a < b) olmak üzere (a \cdot c < b \cdot c) eşitsizliğinin daima doğru olup olmadığını gösteriniz.

Bu ifadenin doğru olması için (\cdot) (çarpma) işleminin hangi durumlarda bu özelliği sağlayacağını düşünmemiz gerekir.

Durum Analizi

1. (c > 0) Durumu:

   • Eğer (c) pozitif bir sayıysa, çarpma işlemi eşitsizliğin yönünü değiştirmez. Dolayısıyla (a < b) olduğunda:
     [
     a \cdot c < b \cdot c
     ]
     ifadesi doğru olur, çünkü pozitif bir sayı ile çarpma eşitsizliği aynı yönde bırakır.

2. (c < 0) Durumu:

   • Eğer (c) negatif bir sayıysa, çarpma işlemi eşitsizliğin yönünü değiştirir. Bu durumda:
     [
     a \cdot c > b \cdot c
     ]
     olur. Dolayısıyla verilen ifade bu durumda doğru olmayacaktır.

3. (c = 0) Durumu:

   • Eğer (c = 0) ise, her iki taraf da sıfıra eşit olacaktır:
     [
     a \cdot 0 = 0 \text{ ve } b \cdot 0 = 0
     ]
     Bu durumda (0 = 0), yani eşitsizlik doğru değildir, aslında bir eşitlik olması gerekir.

Sonuç

Verilen ifadeyi doğru kabul edebilmek için (c) pozitif bir sayı olmalıdır. Eğer (c) negatif veya sıfırsa, ifade doğru olmaz. Bu durum, çarpma işleminin eşitsizliği nasıl etkilediğine dair temel bir matematiksel kavrayış gerektirir. Dolayısıyla, ifade yalnızca (c > 0) olduğunda daima doğrudur.

Herhangi başka bir sorunuzda yardımcı olabilirim!