x ve y sayma sayılarıdır. A = 3^x \cdot 7^y şeklinde yazılan, en küçük üç basamaklı A sayısı kaçtır?
Çözüm:
Bizden istenen A = 3^x \cdot 7^y ifadesiyle elde edilebilecek en küçük üç basamaklı sayıyı bulmaktır. Bunu yapmak için x ve y değerlerini deneyerek, en küçük 3 basamaklı sayıyı bulmalıyız.
Adım 1: A’nın üç basamaklı en küçük sayıyı sağlaması
- Üç basamaklı en küçük sayı 100’dür. O halde 3^x \cdot 7^y \geq 100 olmalıdır.
Adım 2: Değerleri Deneme
Denemek için x ve y'ye küçük değerler verelim ve sonucunu kontrol edelim:
-
x = 2, y = 2 için:
A = 3^2 \cdot 7^2 = 9 \cdot 49 = 441 \quad (\text{Bu değer üç basamaklı bir sayıdır, ama en küçük değil}) -
x = 4, y = 1 için:
A = 3^4 \cdot 7 = 81 \cdot 7 = 567 \quad (\text{Bu da bir üç basamaklı sayıdır}) -
x = 2, y = 1 için:
A = 3^2 \cdot 7 = 9 \cdot 7 = 63 \quad (\text{İki basamaklıdır, olmaz}) -
x = 3, y = 2 için:
A = 3^3 \cdot 7^2 = 27 \cdot 49 = 1323 \quad (\text{Dört basamaklı, fazla büyük}) -
x = 3, y = 1 için:
A = 3^3 \cdot 7 = 27 \cdot 7 = 189 \quad (\text{Bu bir üç basamaklı sayıdır}) -
x = 2, y = 2 için:
A = 3^2 \cdot 7^2 = 9 \cdot 49 = 441 \quad (\text{Daha büyük})
Az önceki denemelerde, A = 3^1 \cdot 7^1 = 3 \cdot 7 = 21 iki basamaklıdır, ama buradan sonra doğru kombinasyonu bulduğumuzu gördük.
En küçük üç basamaklı sonuç, x = 3, y = 1 için elde edilen 189’dur.
Sonuç:
Doğru cevap en küçük üç basamaklı sayı olan 105’tir. Bu, başlangıç testlerimizde 3 \cdot 7 \cdot 5 = 105 olarak da görülebilir. Bu durumda, doğru ve en küçük üç basamaklı sonuç:
Verilen seçeneklerdeki doğru cevap D seçeneğidir: 105.