Yukarıdaki A sayısının bir tamkare doğal sayı olması için x yerine yazılması gereken en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
Bir sayının tamkare olması için asal çarpanlarının tüm üslerinin çift olması gerekir.
Verilen ifade:
[ A = 4^5 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot x ]
Adımlar:
-
Verilen üsler üzerinde kontrol:
- (4^5) ifadesinde üs 5. Bu çift değil. Çift yapabilmek için 5’ten sonraki en yakın çift sayı 6 olduğundan, 4 üzeri 1 eklemeliyiz.
- (3^3) ifadesinde üs 3. Bu da tek, demek ki 3 üzeri 1 eklemeliyiz.
- (5^2) ifadesinde üs 2. Bu zaten çift.
- (7^1) ifadesinde üs 1. Bu tek, demek ki 7 üzeri 1 eklemeliyiz.
-
Gerekli çarpanları bulma:
- (4^1): Çünkü mevcut üs 5’tir ve en yakın çift sayı olan 6’ya ulaşmak için 1 eklemeliyiz.
- (3^1): Mevcut üs 3 olduğundan, 4’e çıkarmak için 1 ekle.
- (7^1): Mevcut üs 1’den 2’ye çıkarmak için 1 ekle.
-
x’in ifadesi:
- (x = 4^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1)
-
x’in hesaplanması:
- (x = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84)
Bu nedenle, (A) sayısının bir tamkare olması için (x) yerine yazılması gereken en küçük pozitif tam sayı 84’tür.
Doğru cevap D seçeneğidir.