Soru:
A ve B doğal sayılarının asal çarpanlarının çarpımının üstlü ifade biçiminde gösterimi aşağıda verilmiştir:
- ( A = 2^x \cdot 3^3 )
- ( B = 2^2 \cdot 3^y \cdot z )
( x, y ) ve ( z ) birer pozitif tam sayı ve (\text{EKOK}(A, B) = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5) olduğuna göre, ( x + y + z ) toplamı en az kaçtır?
Cevap:
Adım 1: EKOK’un Özellikleri
- EKOK (en küçük ortak kat), iki sayının her bir asal çarpanı için en büyük üssü alır.
- Soruda verilen EKOK: ( \text{EKOK}(A, B) = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 )
Adım 2: x, y ve z Sayılarının Bulunması
-
2’lerin Üssü:
- A sayısında: (2^x)
- B sayısında: (2^2)
- EKOK’a göre (2^3), o zaman (x = 3) olmalıdır; çünkü EKOK (2^3) gerektiriyor.
-
3’lerin Üssü:
- A sayısında: (3^3)
- B sayısında: (3^y)
- EKOK’a göre (3^3). Bu durumda zaten A’dan gelen (3^3) olduğundan, (y) minimum positive tam sayı olan (1) olabilir.
-
5 Asal Çarpanı:
- Sadece EKOK’ta var; yani, A veya B’de 5 çarpanı olmalı. Mantıklı olan, (z)'nin 5 olmasıdır.
Adım 3: Toplamı Bulma
Toplamlarını almak:
[ x + y + z = 3 + 1 + 1 = 5 ]
Fakat z’yi 5 olarak dikkate almışız, aslında B’de olmadığı için burada bir hata yaptık. B’deki z’nin doğrudan 5 olması gerektiği sonucunu unuttuk:
[ x + y + z = 3 + 1 + 5 = 9 ]
Final Cevap:
( x + y + z = 9 ) olmalıdır. Doğru cevap: B şıkkı (9) olacaktır.