x, y, z pozitif tamsayılar olmak üzere, (128)^x \cdot (243)^y = 6^z olduğuna göre, x + y + z toplamı en az kaçtır?
Bu tür sorularda verilen sayıları asal çarpanlarına ayırmak, çözümü daha kolay hale getirir. Şimdi adım adım ilerleyelim:
Adım 1: Asal Çarpanlar
- (128 = 2^7)
- (243 = 3^5)
- (6 = 2 \cdot 3)
Dolayısıyla eşitlik:
[
(2^7)^x \cdot (3^5)^y = (2 \cdot 3)^z
]
olarak yazılabilir.
Adım 2: Üslerin Denklemi
Bu eşitliği daha açık hale getirelim:
- ((2^{7x} \cdot 3^{5y} = 2^z \cdot 3^z))
Bu durumda üsleri eşitleyebiliriz:
- (7x = z)
- (5y = z)
Adım 3: Toplamı Bulma
(7x = 5y) olduğuna göre (z = 7x = 5y), buradan (z)'yi bulmak için en küçük ortak değerleri bulalım:
- (7x = 5y) eşitliğinden, en küçük (x) ve (y) değerleri için:
- (x = 5)
- (y = 7)
Bu değerleri yerine koyarsak (z = 35) olur.
Adım 4: x + y + z’yi Hesaplama
(x = 5), (y = 7), (z=35)
Bunların toplamı:
[x + y + z = 5 + 7 + 35 = 47]
Sonuç olarak en az toplam 47 olur.
Bu nedenle doğru cevap:
- E seçeneği: 47