Verilen ifadelerin asal sayı olup olmadığını belirlemek:
Verilen ifadeleri ve bunların asal sayı olup olmadığını detaylıca inceleyelim.
İfade I: ( 5^{16} + 3^9 )
Bu ifadeyi ele alalım:
- Kural olarak, bir ifadenin asal sayı olması için o sayının yalnızca ( 1 ) ve kendisi dışında pozitif böleni olmamalıdır.
- ( 5^{16} + 3^9 ) işlemini hesaplamak zor olabileceğinden, asal olup olmadığını daha kolay bir yolla kontrol edebiliriz.
- Eğer bir sayının toplamı, iki kare toplamı şeklinde yazılabiliyorsa, bu sayı asal değildir.
- Pratik hesaplamalarda, temel modüler aritmetik veya kalan işlemleri kullanarak bu tür ifadelerin asal olmadığını gösterebiliriz.
Bu tür karmaşık ifadelerde sayıyı direkt olarak faktörlerine ya da asal çarpanlarına ayırmak zor olabilir. Bu nedenle doğrudan asal olmadığına ikna edici bir yöntem gereklidir.
İfade II: ( 3^5 + 4 )
Şimdi bu ifadeyi inceleyelim:
- ( 3^5 = 243 )
- Dolayısıyla ( 3^5 + 4 = 243 + 4 = 247 )
247 sayısının asal olup olmadığını belirlemek için bazı temelleri inceleyebiliriz:
- 247 sayısı küçük asal sayılar olan 2, 3, 5, ve 7 ile bölünüp bölünemeyeceğini kontrol edelim.
- 247 çift olmadığı için 2 ile bölünmez.
- Rakamları toplamı (2 + 4 + 7) 13 olduğu için 3 ile de bölünmez.
- 247’nin son rakamı 7 olduğu için, 5 ile de bölünmez.
- 247 sayısını 7 ile bölelim:
( 247 \div 7 = 35.2857 ) (bölündüğünü fark ettik, çünkü sonuç tam sayı değil).
Fakat bu işlemde yanlış oldu çünkü sonuç tam sayı değil. 7’ye bölünebilir olmasından dolayı sonuç tam sayı olmadı. 247 aslında 7 ile bölünemez. 247’i böldüğümüzde tam sonuç çıkmadı. Bölünemeyen sayılar asal olamaz.
Sonuç olarak 247 aslında asal değildir ve başka faktörleri olabilir. Fakat bu tür problemler, modül kontrolü yapılarak daha doğru tespit edilebilir.
İfade III: ( 2^8 + 1 )
Şimdi son ifadeyi inceleyelim:
- ( 2^8 = 256 )
- Bu durumda ( 2^8 + 1 = 256 + 1 = 257 )
257 sayısının asal olup olmadığını belirlemek için aşağıdaki asallık testlerini uygulayabiliriz:
- 257 çift olmadığı için 2 ile bölünmez.
- 257’in rakamları toplamı (2 + 5 + 7) 14 olduğu için 3 ile bölünmez.
- Son rakamı 7 olduğu için, 5 ile de bölünmez.
- 257’yi 7 ile kontrol edelim.
- ( 257 \div 7 = 36.71…) (tam sayı olmadığı sonucuna bakıyoruz).
- 257’yi 11 ile kontrol edelim.
- ( 257 \div 11 = 23.36…) (bu da tam sayı sonucuna ulaşmıyor).
257, bilinen küçük asal sayılarla tam olarak bölünemediği için, 257 bir asal sayıdır.
Sonuç
Yukarıdaki analizlere göre:
- Yalnızca III (257 sayısı) asal sayıdır. Bu nedenle doğru cevap C) Yalnız III olur.
Verilen eşitliğin analizi ve (b + c) toplamının bulunması:
Verilen eşitlik şu şekildedir:
[ a = (c + 5) \cdot (b - 3) ]
a’nın bunun asal sayı olduğunu belirtildiğine göre, ( (c + 5) ) ve ( (b - 3) ) çarpanlarından biri mutlaka ( 1 ) olmak zorundadır. Asal sayıların pozitif bölenleri sadece 1 ve kendisidir. Bu nedenle:
- ( c + 5 = 1 ) olabilir.
- ( b - 3 = 1 ) olabilir.
Durumlar:
Durum 1: ( c + 5 = 1 )
Bu durumda:
[ c + 5 = 1 \Rightarrow c = 1 - 5 = -4 ]
Ancak (c) pozitif tam sayı olduğu için bu durum geçerli değil. Bu durumda (c + 5 = 1) çözümü geçersizdir.
Durum 2: ( b - 3 = 1 )
Bu durumda:
[ b - 3 = 1 \Rightarrow b = 1 + 3 = 4 ]
Bu durumda (b = 4) olur. Şimdi bu durumu kullanarak (c) ve dolayısıyla (a) bulmaya çalışalım.
Durum Analizimizde:
[ a = (c + 5) \times 1 = c + 5 ]
Ancak verilen daha fazla bilgi gerekmediği için ( a ) kendini bir asal sayı olarak alabilir. Fakat bu durumda (a = b - 3) kısmı etkili oluyor.
İşte formülümüz:
[ a = (c + 5) \cdot 1 = c + 5 ]
Burada yalnızca (c) için değer almamız, başka seçenekleri geçmişti fakat soruda (c = 2) gibi değer verirken (b = 4), (a = ) ifadesini verir.
( b + c ) bulunması:
-
Bize sorulan (b + c) toplamını (a) türünde vermemiz gerekecek.
-
Belirlenen (c = 2), ( b = 4 ) yönünde olduğunu bilsek pratik bir toplama eşit olur.
Bulduğumuz ( a = 7) ise:
[
b + c = 4 + 2 = 6
]
Bizim seçeneğimiz yukarıdaki formülleri toparlarsak ( b + c = a - 1 ) olurdu. Ancak farklı noktada (a - 1) seçeneği C, B oluyor.
Geriye kalan ( b + c ) ifade edilen anahtardır.
Bu durumda doğru cevap B) a - 1 olur.
Verilen denklemi analiz ederek (x \cdot y \cdot z) çarpımını bulmak:
Eşitlik:
[ x \cdot y + y \cdot z = 3y^2 + 15 ]
(x, y, z) farklı asal sayılardır. Bu durumu kullanarak (x \cdot y \cdot z) çarpımını bulmamız isteniyor.
Adımlar ve Çözüm:
Öncelikle, (y)'yi tüm terimlerde ortak çarpan olarak kullanarak denklemi düzenleyebiliriz:
[ y(x + z) = 3y^2 + 15 ]
Bu ifadeyi sadeleştirelim:
[ y(x + z) = 3y^2 + 15 ]
Tam sayılarla daha da sadeleştirmek için:
[ y(x + z) = 3y^2 + 15 = y \cdot 3y + 15 = y(3y) + 15 ]
Burada her bir terimin asal sayılar dahilinde yazmak gerekebilir ki denklemi başka türlü deneme ya da çözümleme yapabiliriz. Ancak bu ilerlemekte faydalı olabilir, verilen anahtar prime farklı bölgelerde işlemleri gösterebiliriz demek farklı çözüm parçalarını da farklı yapacaktır.
Bir çözüm olasılığı olarak (y = 3) deneyelim. (y) asallar içindeki en küçük asal iken 3 olabilir.
Önerilen Çözüm Gelişimi:
Yine de ele alınmadıysa önerilen çözüm ve genel basamağı:
- (y = 3), gerçek diğer asal sayılar setini tek bir denklemi kolaylaştırmaya yardımcı olabilir.
- Bu durumda:
[ y(x + z) = 3y^2 + 15 = 3(3)^2 + 15 = 27 + 15 = 42 ]
Şu üç asal sayı kullanıldı: (y = 3).
Arka planda işleri deneme yanılma şeklinde (x, z) üzerinde örneklem çalışarak:
- (y) yerine (3) koyduğumuzda,:
- ((x + z) = 14)
- (x = 2), (z = 7) uygun olabilir. Burada:
[ 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 = 3 \cdot 3^2 + 15 ] bölümlenmesi halinde:
[ 6 + 21 = 42 ] görürüz.
Nihai Sonuç:
( x = 2, y = 3, z = 7 ) olduğunda;
[ x \cdot y \cdot z = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 ]
Fakat uygun deneme esnasında çıkmadı. Diğer seçenekleri kontrol etmemiz gerektiğinde fark edilmeden tekrar ele alınması gerekir. Ancak verilen çarpımlarda:
- Genel çarpımlar veya açıklamalar vermek gerekebilir.
Sonuç doğru seçeneğe göre:
- A) 99 olacaktır. Bu süreç konusundan dolayı y komutlar yeniliklerinin görebileceği kadar erken çözümlerden doğabilir.