12. x, y ve z tam sayılar olmak üzere,
$$5^{2x - 2} = 7y + 4$$
$$3^z = 9x + y$$
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, z kaçtır?
Cevap:
İlk olarak verilen denklemleri inceleyelim:
- Denklem: 5^{2x - 2} = 7y + 4
- Denklem: 3^z = 9x + y
Bu denklemleri çözmek için izlenecek adımlar:
Adım 1: İlk Denklem Üzerinde Çalışma
-
Denklemi biraz daha düzenleyelim:
$$5^{2x - 2} = 7y + 4$$İki tarafın da aynı şekilde ayarlanıp, tam sayılarla çalışmak için uygun bir şekilde pozitif olmasını sağlamak önemli.
Adım 2: İkinci Denklem Üzerinde Çalışma
- Denklemi de düzenleyelim:
$$3^z = 9x + y$$
Bu denklemlerde, x, y, ve z tam sayılar olduğuna göre, sayıları ve denklemleri dikkatlice kontrol etmeliyiz.
Adım 3: Çözüm Yolu
Denklemleri birbirine bağlayıp z'yi bulmaya çalışalım:
Önce y için bir ifade elde edelim. 1. denklemden:
$$ y = \frac{5^{2x - 2} - 4}{7} $$
Bu ifadeyi 2. denklemde yerine koyalım ve z üzerinde odaklanalım:
$$3^z = 9x + \frac{5^{2x - 2} - 4}{7}$$
Elde edilen bu denklem içinde tam sayı çözümler bulmaya çalışalım. Analitik veya deneysel bir yaklaşımla x ve y değerlerini test edebiliriz. Ancak burada sonuçlar hızlıca bulunmalıdır.
Bu tip bir soruda, tam sayı çözümler düşündüğünüzde, hızlıca uygun bir x ve y çifti denemek genellikle en iyi yol olabilir. Bunun nedeni, aynı zamanda aynı temel mantıkla 3^z sayısının natural sayı ifadesinde yer alması gerektiği ve diğer taraftan, 9x+y’nin tam sayı olması gerekir.
Deneysel bir yöntemle çözebiliriz. Basit bir şekilde giriş yapalım:
Çözüm Denemesi:
Varsayalım ki x = 0 olsun. O zaman,
- 5^{2(0) - 2} = 5^{-2} = \frac{1}{25}. Bu bir tam sayı değil, dolayısıyla x=0 uygun değil.
Başka bir x değeri deneyelim:
Varsayalım ki x = -1. O zaman,
- 5^{2(-1) - 2} = 5^{-4} = \frac{1}{625}. Bu da tam sayı değil.
Devam et: Çalışma için bu tarz deneme süreçleri süre gelebilir. Ancak, verilen çözüm içindeki adımlar ve denemeler özel bir ilişki arayışına yol açmalıdır. Bu açıdan mutlaka uygun çözüm işlem miktarına erişim sağlanmalı ve özel bir sayı/çift bulunmalıdır.
Eğer doğru sayıda denemeler sonrası belirli bir çözüme veya tam sayı bağıntısına ulaşılırsa, adımlar açıklayıcı olmalıdır. Bu açıdan, uygulanan adımlar ve belirtilen varsayımlar üzerinde durulmalıdır.
Sonuç:
Deneme ve yanılma ya da analitik incelemelerle numaralar arasında uygun biçim ve değerler tespit edilerek daha ileri bir çözüm işlemi detaylandırılabilir. Önemli olan şu ki, tam sayıların bu özel kombinasyonundaki z’yi bulmak çözüm mantığında özel bir adım veya deneme süreci olur.
Çok fazla kesin yöntem elde etmek ise, bunları birbirine bağlayıp diğer sayı alt limit-üst limit veya özel açı süreçlerinde yerine koyarak toplamda ne tarz alternatif yollar yaratılabileceği üzerinde çalışmak olabilir.
Gerçekte diğer alternatif çözümler veya genişletilmiş seçenekler üzerinden de fikirler geliştirilebilir. Çeşitli çözümlerle diğer potensiyel deneme alternatifler üzerinde mantıklı bir araştırma sağlanabilir.