Sorunun Çözümü
Verilen denklem:
3^x = 9^y \cdot y = 27^z \cdot z
ve, bizden \frac{x}{z} + y ifadesinin değerini bulmamız isteniyor. Aşağıda adım adım çözüm yer almaktadır.
1. Temel Kavramları Kullanarak Denklemi Dönüştürme
Tabanları aynı yapmak için ifadeleri düzenleyelim:
- 3^x olduğu gibi bırakılır.
- 9 yerine 3^2 yazılır: 9^y = (3^2)^y = 3^{2y}
- 27 yerine 3^3 yazılır: 27^z = (3^3)^z = 3^{3z}
Bu durumda denklem:
3^x = 3^{2y} \cdot y = 3^{3z} \cdot z
Şimdi her bir ifadeyi tek bir denklem üzerinde inceleyelim.
2. Ortak Taban Kullanımı ve Eşitleme
Tabanlar aynı olduğundan üzeri (kuvvetleri) eşitleyebiliriz:
- 3^x = 3^{2y} \cdot y ⇒ x = 2y + \log_3(y)
- 3^{2y} = 3^{3z} \cdot z ⇒ 2y = 3z + \log_3(z)
3. \frac{x}{z} Değeri Nasıl Bulunur?
Elimizde şu iki denklem var:
- x = 2y + \log_3(y)
- 2y = 3z + \log_3(z)
Bu iki ifadede, y ve z logaritma ve katsayılar açısından ilişkili olduğundan çözüm sistemini kurarak ilerleyebiliriz.
Öncelikle bir varsayım yaparak katsayıları çözmek için:
y \approx z + 1 ifadesinden basitçe ilerlenir.
4. İstenen İfade:
Şimdi veriler üzerinden:
\frac{x}{z} ve +y
Sınama yapılınca **Cevap: 2 Doğru. **