Çözebilir misinizzz

Bu sorunun konusunu açıklayabilirim:

Verilen iki üstel denklem var:

  1. (3^x = 2)
  2. (5^y = 27)

Bu denklemlere göre (5^{x \cdot y}) ifadesinin değerini bulmamız isteniyor.

Adım Adım Çözüm

  1. İlk Denklemin Logaritmasının Alınması:

    (3^x = 2) denkleminde her iki tarafın da logaritmasını alalım:
    [
    x \cdot \log 3 = \log 2 \implies x = \frac{\log 2}{\log 3}
    ]

  2. İkinci Denklemin Logaritmasının Alınması:

    (5^y = 27) denkleminde her iki tarafın da logaritmasını alalım:
    [
    y \cdot \log 5 = \log 27 \implies y = \frac{\log 27}{\log 5}
    ]
    Burada (27 = 3^3) olduğu için (\log 27 = 3 \log 3) şeklinde yazabiliriz:
    [
    y = \frac{3 \log 3}{\log 5}
    ]

  3. (x \cdot y) Hesaplama:

    (x \cdot y) ifadesini bulalım:
    [
    x \cdot y = \frac{\log 2}{\log 3} \cdot \frac{3 \log 3}{\log 5} = \frac{3 \cdot \log 2}{\log 5}
    ]

  4. (5^{x \cdot y}) Hesabı:

    (5^{x \cdot y}) ifadesi (5^{\frac{3 \cdot \log 2}{\log 5}}) olur. Bu, üstel bir ifadeyi logaritma ile düzenlemektir:
    [
    5^{x \cdot y} = 2^3 = 8
    ]

Sonuç olarak, (5^{x \cdot y}) ifadesinin değeri (8)’dir.

Özet: Verilen denklemlere göre (x \cdot y) hesabı yapılarak (5^{x \cdot y} = 8) sonucuna ulaşılır.