Bu sorunun konusunu açıklayabilirim:
Verilen iki üstel denklem var:
- (3^x = 2)
- (5^y = 27)
Bu denklemlere göre (5^{x \cdot y}) ifadesinin değerini bulmamız isteniyor.
Adım Adım Çözüm
-
İlk Denklemin Logaritmasının Alınması:
(3^x = 2) denkleminde her iki tarafın da logaritmasını alalım:
[
x \cdot \log 3 = \log 2 \implies x = \frac{\log 2}{\log 3}
] -
İkinci Denklemin Logaritmasının Alınması:
(5^y = 27) denkleminde her iki tarafın da logaritmasını alalım:
[
y \cdot \log 5 = \log 27 \implies y = \frac{\log 27}{\log 5}
]
Burada (27 = 3^3) olduğu için (\log 27 = 3 \log 3) şeklinde yazabiliriz:
[
y = \frac{3 \log 3}{\log 5}
] -
(x \cdot y) Hesaplama:
(x \cdot y) ifadesini bulalım:
[
x \cdot y = \frac{\log 2}{\log 3} \cdot \frac{3 \log 3}{\log 5} = \frac{3 \cdot \log 2}{\log 5}
] -
(5^{x \cdot y}) Hesabı:
(5^{x \cdot y}) ifadesi (5^{\frac{3 \cdot \log 2}{\log 5}}) olur. Bu, üstel bir ifadeyi logaritma ile düzenlemektir:
[
5^{x \cdot y} = 2^3 = 8
]
Sonuç olarak, (5^{x \cdot y}) ifadesinin değeri (8)’dir.
Özet: Verilen denklemlere göre (x \cdot y) hesabı yapılarak (5^{x \cdot y} = 8) sonucuna ulaşılır.