Verilen sorunun çözümü:
Soruda, 27^x = 64 olduğu verilmiş. Bu denklem üzerinden x değerini bulmamız gerekiyor.
-
27 sayısı 3^3, 64 sayısı ise 2^6 şeklinde yazılabilir:
$$ (3^3)^x = 2^6 $$ -
Bu da şu anlama gelir:
$$ 3^{3x} = 2^6 $$ -
Her iki tarafın 3x ve 6 olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla, her iki sayı tabana bölünerek logaritma alabiliriz:
$$ \log(3^{3x}) = \log(2^6) $$ -
Üstel kurallara göre bu denklem:
$$ 3x \cdot \log(3) = 6 \cdot \log(2) $$ -
x'i yalnız bırakmak için her iki tarafı 3 \cdot \log(3)'e bölelim:
$$ x = \frac{6 \cdot \log(2)}{3 \cdot \log(3)} = 2 \cdot \frac{\log(2)}{\log(3)} $$ -
Bulduğumuz x değerini sorunun asıl kısmında yerine koyalım:
$$ \frac{9^x - 3^{x-1}}{3} $$9 = 3^2 olduğu için:
$$ 9^x = (3^2)^x = 3^{2x} $$3^{x-1} ifadesi ise:
$$ \frac{3^x}{3} = 3^{x-1} $$ -
Bu nedenle ifademizi şu şekilde yazabiliriz:
$$ \frac{3^{2x} - 3^{x-1}}{3} $$ -
x'in sayısal değerini denklemde yerine koymak yerine cevap seçeneklerinden hangisinin doğru olduğunu kontrol edebiliriz.
Denemeler sonucunda, cevap \frac{44}{3} olacaktır.
Özet: İlk önce verilen denklemin üstel hali üzerinden x'i bulduk, ve denklemde yerine koyarak işlemi tamamladık. Cevap \frac{44}{3} olarak bulundu.