Çözüm:
Soruda verilen, Ayşe, Büşra, Cem ve Derya’nın sırasıyla asal rakamları (1 basamaklı asal değerler) seçtiği belirtilmiştir. Asal rakamlar yalnızca 2, 3, 5 ve 7’dir. Ayrıca soruda, bu seçilen değerlerin aşağıdaki ifadeleri oluşturması gerektiği belirtilmiştir:
- a \cdot b, c \cdot d, a^b - c bu ifadelerin küçükten büyüğe artan şekilde ardışık sayılar oluşturması sağlanmıştır. Buna göre hangi rakamların seçildiğini bulalım.
Adımlar:
(1) Asal rakamlar:
a, b, c, d asal rakamlar 2, 3, 5 ve 7 olabilir. Öğrenciler birbirinden farklı asal rakamlar seçiyorlar.
(2) Ardışık sayılar için kontrol:
Bu ifadelerin ardışık olmasını sağlayacak birkaç deneme yapmalıyız. Şimdi örnek bir durum deneyelim:
- Eğer a = 2, b = 3, c = 5, d = 7 seçilirse,
- a \cdot b = 2 \cdot 3 = 6,
- c \cdot d = 5 \cdot 7 = 35,
- a^b - c = 2^3 - 5 = 8 - 5 = 3.
Bu durumda değerler ardışık değil. Farklı durumlar deniyoruz.
(3) Uygun seçim:
Eğer a = 2, b = 5, c = 3, d = 7 seçilirse:
- a \cdot b = 2 \cdot 5 = 10,
- c \cdot d = 3 \cdot 7 = 21,
- a^b - c = 2^5 - 3 = 32 - 3 = 29.
Bu durumda 10, 21, 29 ardışık değildir!
(4) Uygun çözümde deneme:
Bir seçim daha yapılır ve doğru kombinasyon bulunur. Bu şekilde uygun ardışık sayılar seçildikten sonra b \cdot c - a \cdot d hesaplanacaktır.
Lütfen birkaç test kombinasyonu deneyerek sonuca ulaşınız.
Soru: Aşağıdaki problemde Ayşe, Büşra, Cem ve Derya’nın seçtiği farklı asal sayılar (a, b, c, d) için küçükten büyüğe
[
a \cdot b,\quad c \cdot d,\quad a^{(b-c)}
]
sayıları art arda (ardışık) gelmektedir. Buna göre istenen
[
b \cdot c ;-; a \cdot d
]
değeri kaçtır?
Cevap:
-
Verilen Koşullar:
- (a, b, c, d) birbirinden farklı asal sayılardır (küçük asal sayılar 2, 3, 5, 7 arasından seçeceğiz).
- Küçükten büyüğe sıralandığında
[
a \cdot b,\quad c \cdot d,\quad a^{(b-c)}
]
ifadesi ardışık tamsayılar oluşturur. Yani
[
c \cdot d ;=; a \cdot b ;+; 1 \quad\text{ve}\quad a^{(b-c)} ;=; a \cdot b ;+; 2.
]
-
Olası Değerleri Denemek:
- Asal “kısa” sayı kümesi ({2,3,5,7}) içinden, çarpımların 1 farkla artması ve üstel ifadenin buna uyum sağlaması beklenir.
Aşağıdaki denemede uygun çözüm şöyle bulunur:
- (a = 2,; b = 7) seçildiğinde (a \cdot b = 14).
- Ardışık olması için (c \cdot d = 15). Bunu sağlayan asal ikili ({3,5}) veya ({5,3}) arasından (c=3, d=5) alınabilir.
- Son olarak
[
a^{(b-c)} ;=; 2^{(7-3)} ;=; 2^4 ;=; 16
]
elde edilir. Görüldüğü gibi (14, 15, 16) art arda (ardışık) tamsayılardır.
-
İstenen İfade:
[
b \cdot c ;-; a \cdot d ;=; (7 \cdot 3) ;-; (2 \cdot 5)
]
[
=, 21 ;-; 10 ;=; 11.
]
Dolayısıyla (b \cdot c ;-; a \cdot d = 11) bulunur.
Özet Tablo
| Aşamalar | İşlem/Deneme | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Asal değerleri seçme | (a=2,b=7,c=3,d=5) | |
| 2. Çarpım koşulu | (a \cdot b = 14,; c \cdot d = 15,; 15 = 14 + 1) | Ardışık 1 fark |
| 3. Üs koşulu | (a^{(b-c)} = 2^{(7-3)} = 2^4 = 16,; 16 = 14 + 2) | Ardışık 2 fark |
| 4. İstenen ifade | (b \cdot c - a \cdot d = (7 \cdot 3) - (2 \cdot 5)) | 21 - 10 = 11 |
Sonuç: Aranan değer 11’dir.