Verilen bilgiye göre, ( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x) = -|x| ) fonksiyonu üzerinde duracağız.
1. f’nin Görüntü Kümesi
Fonksiyonun görüntü kümesini bulmak için ( f(x) = -|x| ) ifadesine bakalım. Mutlak değer ( |x| ) her zaman pozitif veya sıfırdır, yani ( |x| \geq 0 ). Dolayısıyla, negatif bir işaretle çarpıldığında:
- En büyük değer ( 0 ) olur (bu, ( x = 0 ) için gerçekleşir).
- En küçük değer ise negatif sonsuz ((-\infty)) olabilir, çünkü ( |x| ) büyüdükçe (-|x|) daha negatif olur.
Bu akış, görüntü kümesinin ((- \infty, 0]) aralığında olduğunu gösterir. İfade doğru.
2. Her x için f(x) < 0’dır
Fonksiyonun tanımına göre ( f(x) = -|x| ), burada:
- ( |x| = 0 ) durumu sadece x = 0 olduğunda olur. Bu durumda ( f(0) = -0 = 0 ) olacaktır.
Bu bilgi ışığında, yalnızca ( f(0) = 0 ) olduğu için her ( x \in \mathbb{R} ) için ( f(x) < 0 ) ifadesi yanlıştır.
3. f(x) daima azalan bir fonksiyondur
Fonksiyonun monotonluğuna bakacak olursak, ( f(x) = -|x| ) fonksiyonunun grafiği ( x ) eksenine göre simetriktir ve her iki yönde de azalmaktadır:
- Sol tarafta (x negatif iken) ve sağ tarafta (x pozitif iken) değerler azalmaktadır. Gittikçe daha negatif değerlere gider.
Bu nedenle, ( f(x) ) daima azalan bir fonksiyondur. İfade doğru.
Sonuç
Doğru ifadeler: I ve III’dür.
Cevap: E) I ve III