Soruyu anlamadı – Problem Çözümü (EBOB)
Soru İncelemesi:
Turgut, 54 cm ve 78 cm uzunluğundaki iki çubuğu, hiçbir parça artmayacak şekilde birbirine eşit uzunlukta parçalara bölecek.
- Bu durumda çubukların eşit parçalara bölünebilmesi için, parçaların uzunluğu iki çubuğun ortak böleni (EBOB, yani “En Büyük Ortak Bölen”) olmak zorundadır.
- Turgut’un elde edeceği toplam parça sayısı ise, çubukların toplam uzunluklarının bu ortak parçaya bölünmesiyle bulunur.
EBOB Hesaplama:
Çubukların uzunlukları 54 cm ve 78 cm değerlerinde olduğuna göre:
Adım 1 – 54’ü ve 78’i asal çarpanlarına ayırın:
- 54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 3³
- 78 = 2 × 3 × 13
Adım 2 – Ortak asal çarpanları bulun:
Ortak asal çarpanlar:
- 2 ve 3.
- Bu çarpanların en küçük üslerini kullanarak EBOB’u hesaplayın:
EBOB = 6 cm, yani çubuklar 6 cm’lik eşit parçalar halinde bölünebilir.
Toplam Parça Sayısı Hesabı:
Adım 3 – Her çubuğu parça uzunluğuna bölün:
- 54 cm çubuğu için:
- 78 cm çubuğu için:
Adım 4 – Toplam parça sayısı:
Sonuç:
Turgut’un elde edeceği toplam parça sayısı 22’dir.
Doğru Cevap: C) 22
@Hatice_Koksal Umarım soruyu şimdi daha iyi anladınız! 
Eğer başka sorunuz olursa, çekinmeden sorabilirsiniz.
Turgut 54 cm ve 78 cm uzunluğundaki iki çubuğu hiç parça artmayacak biçimde ayrı ayrı birbirine eşit uzunlukta parçalara bölecektir. Buna göre Turgut’un elde edeceği parça sayısı en az kaçtır?
Answer:
1) EBOB (En Büyük Ortak Bölen) Hesaplaması
- 54 ve 78 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:
- 54 = 2 × 3 × 3 × 3
- 78 = 2 × 3 × 13
- Ortak çarpanları: 2 ve 3
- Dolayısıyla EBOB(54, 78) = 2 × 3 = 6
2) Ortak Parçanın Uzunluğu
- Çubukları hiç artmayacak şekilde eşit parçalara ayırmak için kullanılacak en büyük parça uzunluğu EBOB(54, 78) = 6 cm’dir.
3) Parça Sayıları
- 54 cm’lik çubuk 6 cm’lik parçalara bölündüğünde: 54 ÷ 6 = 9 parça
- 78 cm’lik çubuk 6 cm’lik parçalara bölündüğünde: 78 ÷ 6 = 13 parça
4) Toplam Parça Sayısı
- İki çubuktan toplam parça sayısı: 9 + 13 = 22
Bu nedenle doğru cevap 22 (C şıkkı) olacaktır.
Turgut 54 cm ve 78 cm uzunluğundaki iki çubuğu hiç parça artmayacak biçimde ayrı ayrı birbirine eşit uzunlukta parçalara bölecektir. Buna göre Turgut’un elde edeceği parça sayısı en az kaçtır?
Cevap:
Merhaba! Bu problemde elimizde iki farklı uzunlukta çubuk bulunuyor: biri 54 cm, diğeri 78 cm. Bu iki çubuğu da “artmayacak” şekilde, yani arta kalan parça olmadan, eşit uzunluklu daha küçük parçalara bölmek istiyoruz. Sorunun bizden istediği, bu durumda en az toplam parça sayısının kaç olduğudur. Kısaca anlatmak gerekirse, önce iki çubuğu en uzun eşit parçalara bölebilmek için EBOB (En Büyük Ortak Bölen) kavramını kullanacağız. Sonrasında, her bir çubuğun o EBOB uzunluğundaki parçalara ayrılmasından oluşan toplam parça sayısını toplayacağız.
Bu kapsamlı anlatımımızda, hem EBOB ve EKOK kavramlarının ne olduğunu, hem de bu problemde nasıl bir yol izlediğimizi tüm ayrıntılarıyla inceleyeceğiz. Problem çözümü dışında da EBOB ve EKOK arasındaki farklar, nasıl hesaplandıkları, günlük hayatta ne şekilde karşımıza çıkabilecekleri gibi konulara da değineceğiz. Ayrıca adım adım bir çözüm yöntemi, tablolar, örnekler, ve konunun daha iyi anlaşılması için ipuçları da yer alacak.
Aşağıdaki içerik, hem konuyu öğrenmek isteyen arkadaşlar için hem de konuyu tekrar hatırlamak isteyenler için oldukça ayrıntılı hazırlanmıştır. Yazı uzun olduğu için öncelikle bir İçindekiler Tablosu sunuyoruz. Bu sayede ilgilendiğiniz bölüme kolayca göz atabilir ve hepsini sırayla okuyarak konuyu tam anlamıyla kavrayabilirsiniz.
İçindekiler Tablosu
- EBOB ve EKOK Nedir?
- Temel Terimler ve Tanımlar
- Problemde Karşılaştığımız Kavramlar
- Adım Adım Çözüm Stratejisi
- Örnek Hesaplamalar ve Alternatif Açıklamalar
- Neden EBOB Kullanılır?
- EKOK ile EBOB’un İlişkisi
- Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- Problemle Alakalı Ek Bir Örnek
- Çözümün Tablosal Özeti
- Günlük Hayattan Benzer Bir Durum Örneği
- Genel Özet ve Kısa Tekrar
- Kaynaklar ve Öneriler
1. EBOB ve EKOK Nedir?
- EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki ya da daha fazla sayıyı bölen en büyük tamsayıdır.
- EKOK (En Küçük Ortak Kat): İki ya da daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür.
Bu iki kavram, sayıların bölme veya çarpma ortaklıklarını incelemek için en temel araçlardır. Örneğin:
- 18 ve 24 sayılarının EBOB’u 6’dır. Çünkü 18 = 2 × 3^2, 24 = 2^3 × 3 şeklinde asal çarpanlarına ayırdığımızda ortak asal çarpanlar 2 ve 3’tür. 2 × 3 = 6.
- Aynı sayıların EKOK’u ise 72’dir. Çünkü 2^3 × 3^2 = 72.
Gündelik ve akademik pek çok problemde EBOB ve EKOK karşımıza çıkar. Özellikle bölme gerektiren ya da bir süreçte kullanılan en büyük parça boyutu veya en küçük tekrar birimi arandığında başvurulacak ilk yöntemlerdir.
2. Temel Terimler ve Tanımlar
Aşağıdaki tablo, konuyla ilgili geçebilecek önemli terimlerin kısa tanımlarını içerir:
| Terim | Tanım |
|---|---|
| Bölme | Bir sayının, başka bir sayıya kaç defa tam olarak bölünebildiğini gösteren işlem. |
| Ortak Bölgen (OB) | İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölme niteliğine sahip tam sayılara “ortak bölen” denir. |
| EBOB | Bu ortak bölenlerin en büyüğüdür. “En Büyük Ortak Bölen” şeklinde de ifade edilir. |
| Ortak Kat (OK) | İki veya daha fazla sayının, aynı anda çarpım tablosunda yer alan (yani her ikisinin de katı olan) sayılara “ortak kat” denir. |
| EKOK | Bu ortak katların en küçüğüdür. “En Küçük Ortak Kat” ifadesiyle kullanılır. |
| Asal Çarpanlar | Bir sayının, yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen “asal” sayı çarpanlarına ayrılması işlemi. |
| Artmayacak Şekilde Bölme | Bir çubuğu, belirli bir uzunluğa göre keserken hiçbir parçanın atılmaması veya geriye kalmaması durumunu ifade eder. |
| Parça Sayısı | İlgili çubuktan elde edilen eşit uzunluktaki küçük “segment” ya da “parça” sayısı. |
3. Problemde Karşılaştığımız Kavramlar
Bu soruda karşımıza çıkan kilit kavramlar şunlardır:
- İki Farklı Uzunluk (54 cm ve 78 cm): Her bir çubuğun boyu.
- Eşit Uzunlukta Parçalara Ayrılma: Bölünme işleminin sonuçları kesinlikle aynı uzunlukta olacak ve hiç parça artmayacaktır.
- Toplam Parça Sayısı: En çok merak edilen nokta. İki çubuktan kaç parça çıkacak ve bu parça sayısı en az kaç olabilir?
Soruda bizden istenen, bu kesme işlemi sonucunda elde edilecek toplam parça sayısının en az kaç olacağıdır. “En az” ifadesi, talep edilen parça boyunun en büyük olmasını gerektirir. İşte tam bu noktada, iki sayının EBOB’u devreye girer. Çünkü hem 54 cm’lik çubuğun hem de 78 cm’lik çubuğun tam sayı kesimlerle bölünebildiği en büyük parça uzunluğu, 54 ve 78’in EBOB’udur.
4. Adım Adım Çözüm Stratejisi
Konuyu dört ana adımda inceleyebiliriz:
Her adımda yapmamız gereken işlemleri detaylı olarak açıklayacağız.
4.1 Adım 1: EBOB Hesaplama
EBOB Nasıl Hesaplanır?
54 cm ve 78 cm’nin EBOB’unu hesaplamanın birkaç farklı yolu vardır:
-
Uzun Yöntem (Tüm bölenleri listeleme):
54’ü bölen sayılar: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
78’i bölen sayılar: 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78
Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6
Bu ortak bölenler arasından en büyüğü 6’dır. Dolayısıyla EBOB(54, 78) = 6. -
Asal Çarpanlara Ayırma:
54 = 2 × 3^3 (2 × 3 × 3 × 3)
78 = 2 × 3 × 13
Ortak asal çarpanlar = 2 × 3 = 6
Bu yöntemle de EBOB’un 6 olduğunu buluruz. -
Öklid Algoritması:
Çok pratik ve özellikle büyük sayılar için hızlı bir yöntemdir.
78’i 54’e bölün: 78 / 54 = 1 kalan 24
54’ü 24’e bölün: 54 / 24 = 2 kalan 6
24’ü 6’ya bölün: 24 / 6 = 4 kalan 0
Kalan 0 ise son bulunmuş kalan 6 EBOB’tur.
Görüldüğü gibi tüm yöntemler, 54 ile 78’in EBOB’unu 6 olarak vermektedir.
4.2 Adım 2: Çubukları EBOB Uzunluğundaki Parçalara Ayırma
Artık elimizde 6 cm uzunluğunda bir “standart parça” vardır. Bu parçanın uzunluğunun özelliği şudur:
- 54 cm’lik çubuk 6’nın katı olduğundan, tam sayıda bölünecek ve hiç artmayacaktır.
- 78 cm’lik çubuk da 6’ya tam olarak bölünecek ve hiçbir parça artık kalmayacaktır.
Böylece 54 cm’lik çubuk, boydan boya 6 cm’lik parçalara boldüğümüzde:
[
\frac{54}{6} = 9 \quad \text{parça}
]
Aynı şekilde 78 cm’lik çubuğu 6 cm’lik parçalara ayırdığımızda:
[
\frac{78}{6} = 13 \quad \text{parça}
]
4.3 Adım 3: Toplam Parça Sayısını Hesaplama
Elimizde artık iki çubuktan elde edilen parçalar vardır:
- 54 cm’lik çubuktan 9 parça
- 78 cm’lik çubuktan 13 parça
Bu durumda toplam parça sayısı:
[
9 + 13 = 22
]
Bu hesaplamanın sonucunda sorunun cevabı 22 olarak karşımıza çıkar.
Soru şıkları incelendiğinde (A) 9, (B) 13, (C) 22, (D) 25 diye verilmiş. Bizim elde ettiğimiz sonuç (C) 22, tam da bu seçenekte bulunmaktadır.
5. Örnek Hesaplamalar ve Alternatif Açıklamalar
Bazı öğrenciler şu soruları sorabilirler:
- “Uzunluk 3 cm olsa ne olurdu?”
- “Peki 2 cm, 9 cm ya da 13 cm’lik parçalara ayırsak ne olurdu?”
Bu gibi sorular, EBOB kavramının neden en büyük parça boyutu seçtiğimizi netleştirmek açısından önemlidir.
Örneğin, 54 ile 78’i 3 cm’lik parçalara bölmek de olmaz mı? Evet, bölünebilir. Fakat bu sefer:
- 54 / 3 = 18 parça
- 78 / 3 = 26 parça
- Toplam = 18 + 26 = 44 parça elde edilir.
Bu sefer toplam parça sayısı 44’e çıkmış olur. Oysa soru “en az parçaya” bölmek istiyor; daha küçük parça boyu kullanmak, parçaların sayısını artıracaktır.
Dolayısıyla hem 54’ü hem de 78’i tam olarak bölen en büyük uzunluğa (yani EBOB’a) göre kesince, toplam parça adedi en küçük olacak şekilde (22) ortaya çıkar.
6. Neden EBOB Kullanılır?
- Amaç: Toplam çıkan parça sayısını azaltmak (dolayısıyla parça uzunluğunu büyük tutmak).
- Gerekçe: İki uzunluğun ortak bölünmesini sağlayan en büyük tam sayı, en büyük ortak bölendir (EBOB).
- Sonuç: Parça tamsayı uzunluğunda ve hiçbir artan parça kalmadığı için en avantajlı kesim boyudur.
Günlük yaşamda da benzer mantık vardır: İki farklı uzunlukta şerit, zincir veya benzeri şeyi aynı boylarda parçalamak istendiğinde, en uzun ve kayıpsız şekilde bölmeyi sağlayan yöntem EBOB’a dayalıdır.
7. EKOK ile EBOB’un İlişkisi
Teorik olarak, iki sayının EBOB ve EKOK’u arasında önemli bir ilişki vardır:
[
\text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) = a \times b
]
Bu problemde a = 54, b = 78 olduğundan:
[
\text{EBOB}(54, 78) \times \text{EKOK}(54, 78) = 54 \times 78
]
EBOB(54, 78) = 6, öyleyse:
[
6 \times \text{EKOK}(54, 78) = 4212
]
Buradan (\text{EKOK}(54, 78)) = (\frac{4212}{6}) = 702 çıkar.
EKOK bizim kesme problemimizde direkt olarak kullanılmıyor, ancak EBOB’un ispatı veya değer kontrolünde gerçekte kullanılan değerlerin tutarlılığını gösterir.
8. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- Parçaları Küçük Seçmek: Bazı öğrenciler, her iki çubuğun ortak bölenlerinin hepsini denemeden veya EBOB kavramını bilmeden en küçük ortak bölen veya herhangi bir bölen seçerek fazladan parça çıkmasına sebep olurlar.
- EKOK ile Karıştırmak: Bazıları, “iki sayıyı bölmekle iki sayının ortak katı olmak” kavramını karıştırarak EKOK hesabını yanlışlıkla bu problemde uygulamaya çalışır. Bu, parça sayısını minimum değil, genelde çok daha büyük yapar.
- En Az Parçayı İstemek: Soru “en az parça” diyor. Burada özenle düşünmek gerekir. En az parçaya bölmek için seçeceğimiz parça boyu en büyük değerde olmalıdır. Yanlış yorumlayarak en küçük parça boyunu seçmek, aranan cevaptan uzaklaştırır.
- Hatalı İşaretleme: Problemde basit bir dört işlem hatası yapılabilir. 54’ü 6’ya bölerken 8 parça diye işaretleyip cevabı 8 + 13 = 21 sananlar olabilir. Bu yüzden işlem adımlarımızı kontrol etmek önemlidir. 54 / 6 gerçekte 9’dur.
9. Problemle Alakalı Ek Bir Örnek
Örneğin, elimizde 36 cm ve 48 cm olmak üzere iki çubuk olsun. Bunları en az parça sayısıyla bölersek:
- EBOB(36, 48) bulunur.
- 36’nın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
- 48’in bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
- Ortak bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- En büyük ortak bölen = 12.
- Bu durumda parça boyu 12 cm olarak belirlenir.
- 36 cm’lik çubuk 12 cm’lik parçalara bölününce 3 parça çıkacaktır.
- 48 cm’lik çubuk 12 cm’lik parçalara bölününce 4 parça çıkacaktır.
- Toplam 3 + 4 = 7 parça.
Bu klasik ikinci bir örnektir ve sistematiğin hep aynı olduğunu gösterir.
10. Çözümün Tablosal Özeti
Aşağıda, 54 cm ve 78 cm’lik çubukları parçalama sürecini tablo halinde özetledik:
| Adım | İşlem veya Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. EBOB Hesabı | 54 ve 78’in EBOB’unu bulmak | EBOB(54, 78) = 6 |
| 2. Parça Boyunu Belirleme | EBOB’a eşit parça boyu (6 cm) | Parça uzunluğu = 6 cm |
| 3. 54 cm’lik Çubukta Bölme | 54 / 6 | 9 parça |
| 4. 78 cm’lik Çubukta Bölme | 78 / 6 | 13 parça |
| 5. Toplam Parça Sayısı | 9 + 13 | 22 |
| 6. Cevap Seçeneği | A) 9, B) 13, C) 22, D) 25 | 22 (Doğru Cevap) |
Bu tablo, sürecin ne kadar sistematik bir şekilde ilerlediğini açıkça gösterir.
11. Günlük Hayattan Benzer Bir Durum Örneği
Diyelim ki bir pastanede çalışıyorsunuz ve 54 cm ile 78 cm uzunluğunda iki farklı baton kekiniz var. Müşteriye hepsini aynı boyda dilimlerle satacaksınız, fakat arta kalan kek parçaları israf olmasın (hiç parça artmasın). Aynı bu problemdeki gibi düşünerek, dilim uzunluğunu keklerin EBOB’una göre seçerseniz en büyük dilimi elde edersiniz ve toplamda daha az dilim ortaya çıkar. Daha küçük keserseniz, elbette yine dilim sayısında artış yaşanır ve dilim başına elde edeceğiniz fiyat daha farklı olabilir, ancak soru “en az kaç dilime bölebilirim” şeklinde sorulduğunda yanıt “EBOB” temelli olacaktır.
Ayrıca, marangozlukta veya inşaatta da benzer durumlar karşımıza çıkar: Farklı uzunluklardaki tahtaları standart parçalara ayırıp israfı (artmış malzeme) önlemek istediğimizde, EBOB hesabı pratik bir yöntem sunar.
12. Genel Özet ve Kısa Tekrar
Bu problemde:
- Turgut’un iki çubuğunun uzunluğu: 54 cm ve 78 cm.
- Çubukları eşit uzunlukta parçalara bölmek istiyoruz ve hiç artan parça kalmasın (artmayacak biçimde kesilme).
- En az toplam parça istiyoruz. Bu, en büyük parça boyutunu seçmemiz gerektiğini söyler.
- İki sayının (54 ve 78) en büyük ortak bölenine (EBOB) bakarız.
- EBOB(54, 78) = 6. Yani parça uzunluğu 6 cm.
- 54 cm’lik çubuk 9 parçaya, 78 cm’lik çubuk 13 parçaya bölünür.
- Toplam parça sayısı: 9 + 13 = 22.
- Dolayısıyla Turgut’un elde edeceği parça sayısı 22’dir.
Kısa Özet: Tüm kuramsal açıklamaların sonucu, sorunun cevabının 22 olmasıdır. Bu, mutlaka hatırlanması gereken bir örnek olarak karşımıza çıkar: Eğer “en az toplam parça sayısı” diye soruluyorsa, her zaman ilgili uzunlukların EBOB’una bakmaktayız.
13. Kaynaklar ve Öneriler
- Ortaokul ve Lise Matematik Ders Kitapları (Milli Eğitim Bakanlığı Yayınları).
- Açık kaynak ders materyalleri: Khan Academy, OpenStax (İngilizce Kaynaklar).
- Özel test kitapları ve deneme sınavları.
- Kolay EBOB-EKOK anlatımı ve örnekleri için çeşitli çevrimiçi video platformlarında yayınlanan eğitim kanalları.
- EBOB-EKOK problemleri çözümünde hız kazanmak için pratik yapma ve ezber taktiğinden ziyade anlama yöntemi önerilir.
Sonuç ve Özet
Bu problem, EBOB kavramının en yaygın kullanım alanlarına iyi bir örnek oluşturur. İki farklı uzunlukta çubuğun sıfır artıkla bölünmesi (yani hiç parça artmaması) ve en az parça sayısının elde edilmesi için En Büyük Ortak Bölen formülü kritik rol oynar. 54 cm ve 78 cm çubukların EBOB’u 6 olduğundan, parça uzunluğu 6 cm seçilir. Böylelikle:
- Kısa çubuk (54 cm), 9 parçaya bölünür.
- Uzun çubuk (78 cm), 13 parçaya bölünür.
- Toplamda 22 parça elde ederiz.
Sorunun çoktan seçmeli cevabı incelendiğinde de 22 (C şıkkı) en uygun karşılıktır.
Bu örnekte gördüğümüz adımlar, benzer tüm “iki (ya da daha fazla) çubuğu bölme” veya “iki (ya da daha fazla) sayının ortak bölünebilir parçaları üzerinde işlem yapma” tipindeki sorular için uygulanabilir. EBOB’un mantığını kavradığımız sürece, sorular hızlı ve hatasız biçimde çözümlenebilir.