Problemin Çözümü
Bu problemde, aşağıdaki ifadeyi sadeleştireceğiz:
\frac{1}{3 + 3\sqrt{2}} - \frac{1}{3 - 3\sqrt{2}} - \frac{4}{\sqrt{2}}
Adım 1: Rasyonel İfadeleri Sadeleştirme
İlk olarak, \frac{1}{3 + 3\sqrt{2}} ve \frac{1}{3 - 3\sqrt{2}} rasyonel ifadelerini sadeleştirelim. Rasyonel bir sayıyı sadeleştirmek için, paydanın eşleniği ile genişleteceğiz.
Eşleniği Kullanarak Çözüm:
- \frac{1}{3 + 3\sqrt{2}} ifadesinin eşleniği 3 - 3\sqrt{2}'dir.
- \frac{1}{3 - 3\sqrt{2}} ifadesinin eşleniği 3 + 3\sqrt{2}'dir.
Bu eşleniklerle pay ve paydayı genişletelim:
\frac{1}{3 + 3\sqrt{2}} \cdot \frac{3 - 3\sqrt{2}}{3 - 3\sqrt{2}} = \frac{3 - 3\sqrt{2}}{(3 + 3\sqrt{2})(3 - 3\sqrt{2})}
\frac{1}{3 - 3\sqrt{2}} \cdot \frac{3 + 3\sqrt{2}}{3 + 3\sqrt{2}} = \frac{3 + 3\sqrt{2}}{(3 - 3\sqrt{2})(3 + 3\sqrt{2})}
Adım 2: Payda Hesabı
(3 + 3\sqrt{2})(3 - 3\sqrt{2}) ifadesini çarpalım:
(3 + 3\sqrt{2})(3 - 3\sqrt{2}) = 9 - (3\sqrt{2})^2 = 9 - 18 = -9
Adım 3: Sadeleştirilmiş İfadeleri Yazma
Bu durumda, ifadelerimiz:
\frac{1}{3 + 3\sqrt{2}} = \frac{3 - 3\sqrt{2}}{-9} = -\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3}
\frac{1}{3 - 3\sqrt{2}} = \frac{3 + 3\sqrt{2}}{-9} = -\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3}
Adım 4: Asıl İfadeyi Hesaplama
Bu ifadeleri yerine koyarak, asıl ifadeyi hesaplayalım:
\left(-\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3}\right) - \left(-\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3}\right) - \frac{4}{\sqrt{2}}
Bu ifadeyi toplarsak:
\frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{\sqrt{2}}
\frac{4}{\sqrt{2}} ifadesini sadeleştirelim:
\frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}
Sonuç:
Sonuç olarak, ifadeyi şu şekilde sadeleştiririz:
\frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}}{3} = -\frac{4\sqrt{2}}{3}
Bu şekilde, ifadenin sonucu -\frac{4\sqrt{2}}{3} olarak bulunur.