Sorunun Çözümü: f(x) = \frac{x+3}{\sqrt{x}} fonksiyonunun x = 9 noktasındaki teğetinin denklemi
Soruda verilen f(x) = \frac{x+3}{\sqrt{x}} fonksiyonunun x = 9 noktasındaki teğet denklemi isteniyor. Bunun için aşağıdaki adımları izliyoruz:
1. Fonksiyonun türevini hesaplama (f’(x))
Verilen fonksiyon:
f(x) = \frac{x+3}{\sqrt{x}}
Birleşik türev kuralları kullanılarak türevi hesaplayacağız. Fonksiyon iki başlıktan oluşuyor: Pay ve payda.
f(x)'in türev kuralları:
u(x) = (x+3), \quad v(x) = \sqrt{x}, \quad f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}
Burada türev formülü:
f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}
Adım adım hesaplayalım:
Pay türevi:
u(x) = x+3, \quad u'(x) = 1
Payda türevi:
v(x) = \sqrt{x}, \quad v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
Şimdi, türev formülüne yerleştirelim:
f'(x) = \frac{(1)(\sqrt{x}) - (x+3)(\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x})^2}
Basitleştirme:
- Payı hesaplayalım:
f'(x) = \frac{\sqrt{x} - \frac{x+3}{2\sqrt{x}}}{x}
İfadeyi düzenleme:
f'(x) = \frac{2x - (x + 3)}{2x \cdot x}
f'(x) = \frac{x - 3}{2x}
Fonksiyonun türevi:
f'(x) = \frac{x-3}{2x}
2. x = 9 için türevi hesaplama
Türev fonksiyonu:
f'(x) = \frac{x-3}{2x}
x = 9 için türev:
f'(9) = \frac{9-3}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}
x = 9 noktasında eğim 1/3.
3. x = 9 için f(x)'i hesaplama (y değeri)
Fonksiyonu kullanarak x = 9 için y değerini hesaplıyoruz.
f(x) = \frac{x+3}{\sqrt{x}}
x = 9 için:
f(9) = \frac{9+3}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4
x = 9 için y değeri: 4
4. Teğetin denklemi
Bir doğru denklemi şu şekilde yazılır:
y - y_1 = m(x - x_1)
Burada:
- m = f'(9) = \frac{1}{3} (eğimi)
- (x_1, y_1) = (9, 4) (teğetin geçtiği nokta)
Denklemi yerine koyuyoruz:
y - 4 = \frac{1}{3}(x - 9)
Son düzenleme:
y - 4 = \frac{1}{3}x - 3
y = \frac{1}{3}x + 1
Sonuç:
Teğet denklemi:
y = \frac{1}{3}x + 1
Özet Tablo:
| Adım | Hesaplama |
|---|---|
| Fonksiyonun türevi | f'(x) = \frac{x-3}{2x} |
| Eğimin hesaplanması | f'(9) = \frac{1}{3} |
| Fonksiyon değeri | f(9) = 4 |
| Teğet denklemi | y = \frac{1}{3}x + 1 |
Teğet denklemi: y = \frac{1}{3}x + 1