Sorunun Çözümü:
Soruda, verilen fonksiyonun ( f(x) = \frac{x+3}{\sqrt{x}} ) grafiğinin ( x = 9 ) noktasındaki teğet denklemi isteniyor. Teğet denklemini bulmak için şu adımları izleriz:
1. Fonksiyonun Türevi (( f’(x) ))
Fonksiyon ( f(x) = \frac{u}{v} ) şeklinde verilmiş. Bu türden fonksiyonların türevini bulmak için bölüm türevi kurallarını kullanırız:
Bölüm türevi formülü:
[
f’(x) = \frac{u’(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v’(x)}{[v(x)]^2}
]
Burada:
- ( u(x) = x + 3 ) ve ( v(x) = \sqrt{x} ).
Türevleri:
- ( u’(x) = 1 ) (Çünkü ( x+3 )'ün türevi ( 1 )'dir).
- ( v’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} ) (Çünkü ( \sqrt{x} = x^{1/2} )'nin türevi ( \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} )'dir).
Şimdi türevi formüle koyalım:
[
f’(x) = \frac{(1) \cdot \sqrt{x} - (x + 3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2}
]
Birleştirip sadeleştiriyoruz:
[
f’(x) = \frac{\sqrt{x} - \frac{(x + 3)}{2\sqrt{x}}}{x}
]
Payda eşitleyelim:
- ( \sqrt{x} = \frac{2\sqrt{x}}{2} )
- ( \frac{2\sqrt{x} - (x+3)}{2\sqrt{x}} )
Son hali:
[
f’(x) = \frac{2\sqrt{x} - x - 3}{2x}
]
2. ( x = 9 ) için türev değerini bulma (( f’(9) ))
Verilen türevde ( x = 9 ) koyarak türev değerini hesaplıyoruz:
[
f’(9) = \frac{2\sqrt{9} - 9 - 3}{2\cdot 9}
]
Hesaplayalım:
- ( \sqrt{9} = 3 ), ( 2\sqrt{9} = 6 )
- ( f’(9) = \frac{6 - 9 - 3}{18} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3} )
3. Fonksiyondaki ( y ) değerini bulma (( f(9) ))
Fonksiyonda ( x = 9 ) koyarak ( y ) değerini buluyoruz:
[
f(9) = \frac{9 + 3}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4
]
Bu durumda teğet ( x = 9 ) noktasında ( (9, 4) ) noktasından geçiyor.
4. Teğet Denklemini Bulma
Teğet denklemi formülü:
[
y - y_1 = f’(x_0)(x - x_0)
]
Burada:
- ( x_0 = 9 ), ( y_1 = 4 ), ( f’(x_0) = -\frac{1}{3} ).
Formülü yerine koyuyoruz:
[
y - 4 = -\frac{1}{3}(x - 9)
]
Sadeleştirelim:
[
y - 4 = -\frac{1}{3}x + 3
]
[
y = -\frac{1}{3}x + 7
]
Sonuç
Teğet denklemi şudur:
[
y = -\frac{1}{3}x + 7
]
Çözümün Özeti
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Fonksiyonun Türevi | ( f’(x) ) hesaplandı | ( f’(x) = \frac{2\sqrt{x} - x - 3}{2x} ) |
| 2. ( f’(9) ) Bulundu | ( x = 9 ) yerine koyuldu | ( f’(9) = -\frac{1}{3} ) |
| 3. ( f(9) ) Bulundu | ( x = 9 ) yerine koyuldu | ( f(9) = 4 ) |
| 4. Teğet Denklemi | Formül uygulandı | ( y = -\frac{1}{3}x + 7 ) |
Eğer başka bir sorunuz varsa, lütfen sormaktan çekinmeyin! 
@Teslime