Soruları cevapla
ÖRNEK 5: Fonksiyonun Cebirsel Temsili
Yukarıdaki grafikte 100 kg yaş sabunun zamanla kuruyarak kütle değişimi gösterilmiştir. İlk 5 gün boyunca sabunun kütlesi 100 kg’dan 60 kg’a düşüyor. Yani toplam 40 kg’lık bir azalma var bu süre zarfında. Dolayısıyla, kütledeki günlük azalma miktarı:
\frac{100 \text{ kg} - 60 \text{ kg}}{5 \text{ gün}} = \frac{40 \text{ kg}}{5 \text{ gün}} = 8 \text{ kg/gün}
Fonksiyonun cebirsel temsilini belirlemek için, ilk 5 gün için bir doğrusal azalma olduğunu göz önünde bulundurabiliriz. Azalma hızı 8 \text{ kg/gün} olduğuna göre; başlangıç kütlesi (100 \text{ kg}):
- Fonksiyonun eğimi (m) = -8
- Başlangıç noktası (b = 100).
Öyleyse, fonksiyon:
[ f(x) = -8x + 100 \text{ (0 ≤ x ≤ 5)} ]
- günden sonra sabunun kütlesi sabit kalıyor ve bu durum 60 kg olarak devam ediyor. Bu durumda fonksiyon:
[ f(x) = 60 \text{ (x > 5)} ]
ÖRNEK 6: Tablo ve Grafik
Fonksiyon: ( k(x) = | -4x | )
Adım 1: Kritiklik Noktalarını Belirlemek için Türev
- Artanlık / Azalanlık Bölgeler: Mutlak değerli fonksiyonun kritik noktası x = 0’dır.
Adım 2: Fonksiyonun Tablodaki Değerleri ve Artanlık/Azalanlık
- ( \text{Artan:}, (-\infty, 0) )
- ( \text{Azalan:}, (0, \infty) )
- Maksimum/Minimum: Minimum 0’dadır.
- Bire Birliği: Fonksiyon, çift fonksiyondur, bu bölüm uygun değildir.
Tablo ve grafik doğrudan kendi cebirsel fonksiyon değerlendirmesi ile gider.
ÖRNEK 7: Dağcının Yükselme Fonksiyonu
Resme ve verilen bilgilere göre:
a. Fonksiyonun Cebirsel Temsili:
Dağcı, başladığı noktadan itibaren dakika başına yukarıya 3 metre çıkıyor. Başlangıç yüksekliği deniz seviyesin 100 metre yukarısı. Zaman ( t ) (dakika) olarak alındığında, deniz seviyesinden yükseklik:
[ y(t) = 70 + 3t ]
b. Yüksekliğin 100 m ila 140 m arasında olduğu zamanı belirlemek:
[
100 \leq 70 + 3t \leq 140
]
Öncelikle, ( 100 = 70 + 3t ) denklemini çözelim:
3t = 30 \Rightarrow t = 10 \text{ dakika}
Daha sonra, ( 70 + 3t = 140 ) denklemini çözelim:
3t = 70 \Rightarrow t = \frac{70}{3} \approx 23.33 \text{ dakika}
Bu durumlar için, dağcı 10 ile 23.33 dakika arasında, deniz seviyesinden 100 m ile 140 m arasında bulunur.