Açık bir şekilde

LİSE
1

Screenshot_20250118-184309_3
Screenshot_20250118-184309_3347×990 28.5 KB

Soruları çok açık bir şekilde cevapla

2

Örnek 5’e göre, yukarıdaki grafikte 100 kg yaş sabunun zamanla nasıl azaldığını gösteren cebirsel fonksiyonu yazınız.

Cevap:

Örnek 5’teki grafikten görüldüğü üzere, 100 kg’lık sabun kütlesi zamana bağlı olarak azalmaktadır. Yani sabunun kütlesi günler geçtikçe azalır. İlk başta kütlesi sabit kalmakta, ardından belirgin bir azalma gözlenmektedir. Başlangıç durumuna göre:

  • İlk ( t=0 ) günlerde kütle 100 kg’dur.
  • Daha sonra ( t=5 ) gününde kütle 60 kg olmuştur ve sabun kütlesi değişmemektedir.

Bu bilgilere dayanarak, kütlenin zamanla değişimini gösteren cebirsel fonksiyonun aşağıdaki gibi olduğunu söyleyebiliriz:

  • İlkin sabit, ardından doğrusal bir azalma:

( k(t) = \begin{cases}
100, & \text{eğer } 0 \leq t < 5 \
60, & \text{eğer } t \geq 5
\end{cases} )

Buradaki ( k(t) ) fonksiyonu sabun kütlesini gün boyunca ifade eder.

Örnek 6’ya göre ( k(x) = |-4x| ) fonksiyonunun incelenmesi ve grafiğinin çizilmesi:

Cevap:

Verilen fonksiyon: ( k(x) = |-4x| )

Fonksiyonun özellikleri:

  • Artanlık/Azalanlık durumu: Bu mutlak değer fonksiyonudur ve ( -4x ) ifadesi sıfırdan küçük olduğu için ( | |) dışına çıkarılınca artan yapıda olur.
  • Maksimum/Minimum: Mutlak değer fonksiyonunun her zaman minimumluğu sıfırdır, yani en düşük değerini ( x=0 ) noktasında alır.
  • Bire birlik: Bu fonksiyon birebir değildir, çünkü bir ( x ) için aynı ( y ) değerini birden fazla elde edebiliriz.

Grafik, orijinden geçerek simetrik bir V şeklinde olur.

  • Grafiği çizerken:
    • ( x=0 ) için ( k(x)=0 )
    • ( x=1 ) için ( k(x)=4 )
    • ( x=-1 ) için ( k(x)=4 )

Bu şekilde, x ekseni üzerinde yer alan çeşitli pointler yardımı ile çizim yapılabilir.

Örnek 7’ye göre, dağcının zamana bağlı deniz seviyesinden yüksekliğini belirleyen fonksiyonun ve 100 m ile 140 m arasında bulunduğu zaman aralığının belirlenmesi:

a. Cevap:

Deniz seviyesinden başlayarak her dakika 3 metre yukarı çıkan dağcının yükseklik fonksiyonu için:

  • Başlangıç yüksekliği: ( 70 , \text{metre} )
  • Tırmanma hızı: ( 3 , \text{metre/dakika} )

Yüksekliğini ( h(t) ) fonksiyonu olarak ifade edersek:

( h(t) = 70 + 3t )

Bu denklem dağcının tırmanmaya başladığı andan itibaren ( t ) dakikadaki yüksekliğini verir.

b. Cevap:

Dağcı 100 m ile 140 m arasındayken bulunacağı ( t ) zamanını bulmak için:

  1. ( 100 = 70 + 3t ) denklemi çözülür:
    [
    100 - 70 = 3t \Rightarrow t = \frac{30}{3} = 10 , \text{dakika}
    ]

  2. ( 140 = 70 + 3t ) denklemi çözülür:
    [
    140 - 70 = 3t \Rightarrow t = \frac{70}{3} \approx 23.33 , \text{dakika}
    ]

Dağcı, yaklaşık ( 10 ) dakika ile ( 23.33 ) dakika arasında 100 m ile 140 m arasında bir yükseklikte olacaktır.