Soruları açıkla

YKS TYT
1

IMG-20250307-WA0002
IMG-20250307-WA0002720×932 28.1 KB

2

Açıklamalar:

Verilen sorular, matematiksel ifadelerin çarpanlarına ayrılması, sadeleştirilmesi ve çözümüyle ilgilidir. Aşağıda titizlikle her maddeyi adım adım açıklayacağım ve önemli yerlerde formül veya çözüm mantığını da belirteceğim.

1. x+y=3, \ x·y=2 \ ⇒ x^3+ y^3=?

Çözüm:

Bu tür sorular için küpler toplamı formülünü kullanırız:

x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)

Adım adım çözümü:

  • x+y=3, burada toplam verilmiştir.
  • xy=2, burada çarpım verilmiştir.
  • Şimdi, x^2+y^2 değerini bulmamız gerekiyor. Formül:
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2(x·y)

Hesaplayalım:

x^2 + y^2 = 3^2 - 2·2 = 9 - 4 = 5

Şimdi, formülü yerine koyuyoruz:

x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)

Yerleştirelim:

x^3 + y^3 = 3·(5 - 2) = 3·3 = 9

Sonuç: x^3 + y^3 = 9

2. x+y=5, \ x·y=6 \ ⇒ x^3+y^3=?

Çözüm:

Aynı formülü kullanıyoruz:

x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)

Adım adım çözümü:

  • x+y=5
  • xy=6
  • Formüllerden $x^2 + y^2$’yi bulalım:
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2·(x·y)

Hesaplayalım:

x^2 + y^2 = 5^2 - 2·6 = 25 - 12 = 13

Formülü yerine koy:

x^3 + y^3 = (5)(13 - 6) = 5·7 = 35

Sonuç: x^3 + y^3 = 35

3. x + \frac{1}{x} = 2 \ ⇒ x^3 + \frac{1}{x^3} = ?

Çözüm:

Bu tip sorular için aşağıdaki formülü kullanıyoruz:

\left(x+\frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3\left(x+\frac{1}{x}\right)

Adım adım çözümü:

  • Burada x + \frac{1}{x} değeri 2 verilmiş. Bu değeri yerine koyalım:
2^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3·2

Hesaplayalım:

8 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 6
x^3 + \frac{1}{x^3} = 8 - 6 = 2

Sonuç: x^3 + \frac{1}{x^3} = 2

4. 5x^2 - 8x + 3 çarpanlarına ayrınız.

Çözüm:

Bu ifade ikinci dereceden bir polinomdur. Çarpanlarına ayırmak için aşağıdaki adımları izleriz:

Adım 1: Katsayıları çarpalım: 5·3 = 15. Şimdi, 15’i oluşturabilecek iki sayı arıyoruz. Bu sayıların toplamı -8 olmalı:

-5 \text{ ve } -3 \ (çünkü -5-3 = -8 \textbf{ ve } -5·-3=15)

Adım 2: Orijinal ifadeyi yeniden düzenleyelim:

5x^2 - 5x - 3x + 3

Adım 3: Gruplandırarak çarpanlara ayıralım:

(5x^2 - 5x) + (-3x + 3)

Her gruptan ortak çarpanı çıkaralım:

5x(x-1) - 3(x-1)

Son hali:

(5x-3)(x-1)

Sonuç: 5x^2 - 8x + 3 = (5x-3)(x-1)

5. x^4 - 5x^2 - 14 çarpanlarına ayrınız.

Çözüm:

Bu tür ifadeler için ilk olarak ikili bir değişken uygularız: x^2 = y. Böylece x^4 yerine y^2 yazılır.

Yeni ifade:

y^2 - 5y - 14

Şimdi bunu çarpanlarına ayıralım. Çarpanlar:

y^2 - 5y - 14 = (y-7)(y+2)

Son olarak, y = x^2 yerine koyup nihai cevabı yazıyoruz:

(x^2-7)(x^2+2)

Sonuç: (x^2-7)(x^2+2)

6. (4x+1)^2 - 5(4x+1) - 14 çarpanlarına ayrınız.

Çözüm:

Bu ifadede ortak bir terim olan 4x+1 yerine geçici bir değişken kullanabiliriz: t = 4x+1.

Yeni ifade şu şekilde olur:

t^2 - 5t - 14

Şimdi bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım:

t^2 - 5t - 14 = (t-7)(t+2)

Son olarak, t = 4x+1 yerine koyup nihai cevabı yazıyoruz:

(4x+1-7)(4x+1+2) = (4x-6)(4x+3)

Sonuç: (4x-6)(4x+3)

7. \frac{x^3 - x^2 + x}{x^2 - x + 1} en sade hali?

Çözüm:

Bu ifadeyi sadeleştirmek için önce ortak terimleri çıkarmamız gerekiyor:

Adım 1: Pay ve paydayı inceleyelim.
Pay: x(x^2 - x + 1)
Payda: x^2 - x + 1

Adım 2: Ortak terimleri sadeleştirelim.

\frac{x(x^2-x+1)}{x^2-x+1} = x

Sonuç: x

8. \frac{4x(x-3)+3x-9}{4x+3} en sade hali?

Çözüm:

Adım 1: Payı düzenleyelim.

4x(x-3) + 3x - 9 = 4x^2 - 12x + 3x - 9 = 4x^2 - 9x - 9

Şimdi payda ve payı çarpanlarına ayıralım:
Pay: 4x^2 - 9x - 9 = (4x+3)(x-3)
Payda: 4x+3

Adım 2: Ortak terimleri sadeleştirelim.

\frac{(4x+3)(x-3)}{4x+3} = x-3

Sonuç: x-3

9. \frac{x^3 - 27}{x^2+3x+9} en sade hali?

Çözüm:

Payda ve payı ayrı ayrı çarpanlarına ayıralım:

Pay: x^3-27 = (x-3)(x^2+3x+9)
Payda: x^2+3x+9

Sadeleştirelim:

\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{x^2+3x+9} = x-3

Sonuç: x-3

10. \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2+1} en sade hali?

Çözüm:

Payı çarpanlarına ayıralım:

x^3 + 2x^2 + x + 2 = x^2(x+2) + (x+2) = (x^2+1)(x+2)

Payda zaten çarpanlarına ayrılmış: x^2+1.

Sadeleştirelim:

\frac{(x^2+1)(x+2)}{x^2+1} = x+2

Sonuç: x+2

Özet Tablosu

Soru No Çözüm Sonucu
1 x^3 + y^3 = 9
2 x^3 + y^3 = 35
3 x^3 + \frac{1}{x^3} = 2
4 (5x-3)(x-1)
5 (x^2-7)(x^2+2)
6 (4x-6)(4x+3)
7 x
8 x-3
9 x-3
10 x+2

Umarım faydalı olmuştur! @Yagmur_Saat