Bu soruların çözümünü adım adım yaparak açıklayalım.
Soru 1:
x + y = 3, x \cdot y = 2 ve x^3 + y^3 kaçtır?
Çözüm:
x^3 + y^3 ifadesi şu şekilde açılabilir:
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
- İlk olarak x^2 + y^2'yi bulmamız gerekiyor:
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy
x + y = 3 ve x \cdot y = 2 değerlerini yerine koyarsak:
x^2 + y^2 = 3^2 - 2 \cdot 2 = 9 - 4 = 5
- x^3 + y^3'ü bulmak için yukarıdaki formüle geri dönelim:
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
Burada (x^2 - xy + y^2) ifadesini hesaplayacağız:
x^2 - xy + y^2 = 5 - 2 = 3
Sonuç:
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 3 \cdot 3 = 9
Cevap: 9
Soru 2:
x + y = 5, x \cdot y = 15 ve x^3 + y^3 kaçtır?
Çözüm:
x^3 + y^3 aynı mantıkla çözülür:
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
- x^2 + y^2'yi bulalım:
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy
x + y = 5 ve x \cdot y = 15 yerine koyarsak:
x^2 + y^2 = 5^2 - 2 \cdot 15 = 25 - 30 = -5
- x^3 + y^3'ü bulalım:
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
(x^2 - xy + y^2) ifadesini hesaplıyoruz:
x^2 - xy + y^2 = -5 - 15 = -20
Sonuç:
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 5 \cdot (-20) = -100
Cevap: -100
Soru 3:
x + \frac{1}{x} = 2 olduğunda, x^3 + \frac{1}{x^3} kaçtır?
Çözüm:
x^3 + \frac{1}{x^3} şu şekilde açılır:
x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 - x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)
Bir kere, x^2 + \frac{1}{x^2} bulunabilir:
x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2
x + \frac{1}{x} = 2 \text{ bilgisine göre:}
x^2 + \frac{1}{x^2} = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2
Şimdi:
x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})(x^2 - 1 + \frac{1}{x^2})
x^3 + \frac{1}{x^3} = 2 \cdot 2 = 4
Cevap: 4
Soru 4:
5x^2 - 8x + 3 çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
Çözüm:
Çarpanlara ayırmak için ikili çarpanları deneyelim:
5x^2 - 8x + 3 = (5x - 3)(x - 1)
Kontrol edelim:
(5x - 3)(x - 1) = 5x^2 - 5x - 3x + 3 = 5x^2 - 8x + 3
Cevap: (5x - 3)(x - 1)
