Soru açıklamaları

YKS TYT
1 
kodu buraya yazın veya yapıştırın

IMG-20250307-WA0002
IMG-20250307-WA0002720×932 28.1 KB

2

Yazılı Soruların Çözümleri

Aşağıda verilen her sorunun çözümüne dikkatlice bakalım. Soruları sırayla analiz edip, yöntemlerini göstereceğim.

1. Soru:

Verilen:

x + y = 3, \quad x \cdot y = 2 \quad \text{ise} \quad x^3 + y^3 = ?

Çözüm:

x^3 + y^3 \text{ için şu formül kullanılır: } x^3 + y^3 = (x + y)((x + y)^2 - 3xy)

Hesaplayalım:

  • x+y = 3,
  • x \cdot y = 2.

İşlem:

x^3 + y^3 = (x + y)((x + y)^2 - 3xy)
x^3 + y^3 = 3 \cdot (3^2 - 3 \cdot 2)
x^3 + y^3 = 3 \cdot (9 - 6)
x^3 + y^3 = 3 \cdot 3 = 9.

Cevap: x^3 + y^3 = 9

2. Soru:

Verilen:

x + y = 5, \quad x^2 + y^2 = 15 \quad \text{ise} \quad x^3 + y^3 = ?

Çözüm:

x^3 + y^3 = (x + y)((x + y)^2 - 3xy)

Hesaplayalım:

  1. x + y = 5 olduğu zaten verildi.
  2. x^2 + y^2 için şu özdeşliği kullanalım:
    $$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy.$$
    $$15 = 5^2 - 2xy.$$
    $$15 = 25 - 2xy \implies 2xy = 10 \implies xy = 5.$$

Şimdi formülü uygulayalım:

x^3 + y^3 = (x + y)((x + y)^2 - 3xy)
x^3 + y^3 = 5((5)^2 - 3 \cdot 5)
x^3 + y^3 = 5(25 - 15)
x^3 + y^3 = 5 \cdot 10 = 50.

Cevap: x^3 + y^3 = 50

3. Soru:

Verilen:

x + \frac{1}{x} = 2 \quad \text{ise} \quad x^3 + \frac{1}{x^3} = ?

Çözüm:

x^3 + \frac{1}{x^3} \text{ için şu özdeşlik kullanılabilir: }
x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x}) \left((x + \frac{1}{x})^2 - 3\right).

Hesaplayalım:

  1. x + \frac{1}{x} = 2 olduğu verildi.
  2. (x + \frac{1}{x})^2 şu şekilde bulunur:
    $$ (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2. $$
    $$ 2^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 $$
    $$ 4 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 $$

Şimdi x^3 + \frac{1}{x^3}'ü bulalım:

x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x}) \left((x + \frac{1}{x})^2 - 3\right)
x^3 + \frac{1}{x^3} = 2 \cdot (2^2 - 3)
x^3 + \frac{1}{x^3} = 2 \cdot (4 - 3)
x^3 + \frac{1}{x^3} = 2 \cdot 1 = 2.

Cevap: x^3 + \frac{1}{x^3} = 2

4. Soru:

Verilen:

5x^2 - 8x + 3 \quad \text{çarpanlarına ayrılacak.}

Çözüm:
Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak için çarpanlara ayırma yöntemlerini kullanalım:

  1. Katsayılar arası çarpma: 5 \cdot 3 = 15
    15’i çarpanlarına ayıran iki sayı bulmalıyız ki -8 toplamına sahip olsun:
    -5 ve -3 bu şartı sağlar.

  2. İfadeyi düzenleyelim:
    $$ 5x^2 - 8x + 3 = 5x^2 - 5x - 3x + 3 $$
    Şimdi gruplandırma yapalım:
    $$ (5x^2 - 5x) + (-3x + 3) $$
    Ortak çarpanları alalım:
    $$ 5x(x - 1) - 3(x - 1) $$
    $$ (5x - 3)(x - 1) $$

Cevap: 5x^2 - 8x + 3 = (5x - 3)(x - 1)

5. Soru:

Verilen:

x^4 - 5x^2 - 14 \quad \text{çarpanlarına ayrılacak.}

Çözüm:
İlk olarak x^2 yerine bir değişken koyarak çarpanlara ayırmayı kolaylaştıralım:

x^2 = y \quad \text{olsun}.

Bu durumda denklem şu hale gelir:

y^2 - 5y - 14.

Şimdi çarpanlarına ayıralım:

  1. -14 \cdot 1 = -14
    -14’ü çarpanlarına ayırın: -7 ve 2 toplamı -5 yapar.

  2. İfade şöyle düzenlenir:
    $$ y^2 - 5y - 14 = (y - 7)(y + 2). $$

Şimdi yerine tekrar x^2 koyarak çarpanlara ayrılmış şekli yazalım:

x^4 - 5x^2 - 14 = (x^2 - 7)(x^2 + 2).

Cevap: (x^2 - 7)(x^2 + 2)

6. Soru:

Verilen:

(4x + 1)^2 - 5(4x + 1) - 14 \quad \text{çarpanlarına ayrılacak.}

Çözüm:
Önce 4x + 1 = z olsun diyelim. Bu durumda denklem şu hale gelir:

z^2 - 5z - 14.

Şimdi çarpanlarına ayıralım:

  1. Katsayıları çarpalım: -14 \cdot 1 = -14
    $-14’ün çarpanlarına ayrılan iki sayı -7 \text{ ve } 2$.

  2. İfade şöyle düzenlenir:
    $$ z^2 - 5z - 14 = (z - 7)(z + 2). $$

Yerine 4x + 1 değerini koyarak sonucu yazalım:

(4x + 1)^2 - 5(4x + 1) - 14 = ((4x + 1) - 7)((4x + 1) + 2).
= (4x - 6)(4x + 3).

Cevap: (4x - 6)(4x + 3)

Diğer sorular için devam etmek istersen @Yagmur_Saat belirtmen yeterli :nerd_face:!