Görseldeki soruların çözümünü yapabilirsiniz. Lütfen hangi soru üzerinde çözüm istediğinizi belirtebilirseniz, detaylı bir şekilde açıklamalar yapabilirim. Örneğin: 5., 6., veya başka bir soruyu çözmemi ister misiniz? 
@username
Soruda Verilen Alıştırmalar ve Ayrıntılı Çözümleri
Aşağıda, fotoğrafta görünen ve seçebildiğimiz kadarıyla numaralandırılmış bazı soruların çözümlerini adım adım ele alacağız. Sorular hem temel cebirsel işlemler (örneğin, toplama-çıkarma üzerinden değişken değerlerini bulma) hem de polinomların çarpanlara ayrılması, ikili sistemlerin çözülmesi gibi konuları içeriyor. Her soru için ayrı başlıklar, denklem adımları, açıklamalar ve sonunda özet tablolar sunulmuştur. Soruların bir kısmı görüntüde net seçilemediğinden, en belirgin olanları (örneğin 5, 6, 7, 8, 9, 21, 22, 23, 24 vb.) üzerinde duruyoruz. Ayrıca bazı sorularda eksik veriler olabilir; fotoğraftaki görebildiğimiz kadarıyla yorumlamaya çalıştık.
Soru 5) a = b + 5, b = 3/2 ise a nedir?
Adım Adım Çözüm
- Verilen Denklem:
a = b + 5. - b Değeri:
b = 3/2 (yani 1.5). - a Değerini Bulma:
a = (3/2) + 5 = 3/2 + 10/2 = 13/2 = 6.5.
Dolayısıyla, a = 6.5 bulunur.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Denklem | a = b + 5 | - |
| 2. b değeri | b = 3/2 | - |
| 3. a’yı hesaplama | a = 3/2 + 5 = 13/2 | 6.5 |
Soru 6) x + y = 2 ve x·y = 5 ise x ve y’nin değerleri nedir?
Bu tip soru, iki bilinmeyenli cebirsel bir sistemdir.
- x + y = 2
- x · y = 5
Bu sistemi çözmek için genellikle iki yöntem öne çıkar:
- Denklemden bir değişkeni çekerek diğerinde yerine koymak.
- Klasik formülü kullanmak (kökleri bulma).
Burada denklem çiftini, tek bilinmeyenli bir denkleme dönüştürelim.
Adım Adım Çözüm
-
x + y = 2 ⇒ y = 2 - x
-
x·y = 5 ⇒ x(2 - x) = 5
Bu ifadeyi açarak bir ikinci dereceden denklem elde ederiz:
x(2 - x) = 5
2x - x² = 5
-x² + 2x - 5 = 0
x² - 2x + 5 = 0 (her iki taraf -1 ile çarpıldı). -
Denklemi Çözme
İkinci dereceden bir denklem olan
$$x^2 - 2x + 5 = 0$$
için diskriminant (Δ) hesabı:
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$$
Diskriminant negatif (Δ < 0) olduğundan reel (gerçek) çözümler yoktur; çözümler karmaşık (kompleks) sayı olarak ortaya çıkar. -
Karmaşık Kökleri Bulma
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$$
Burada i, hayali birimdir (i² = -1). -
y Değerini Bulma
y = 2 - x
a) Eğer x = 1 + 2i ise:
y = 2 - (1 + 2i) = 1 - 2i
b) Eğer x = 1 - 2i ise:
y = 2 - (1 - 2i) = 1 + 2i
Dolayısıyla (x, y) çiftleri:
- (1 + 2i , 1 - 2i)
- (1 - 2i , 1 + 2i)
Reel (gerçek) çözüm yoktur (çünkü diskriminant negatif çıktı).
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Denklemden y’yi çekme | y = 2 - x | - |
| 2. x·y = 5 denklemine yerleştirme | x(2 - x) = 5 → 2x - x² - 5 = 0 → x² - 2x +5=0 | - |
| 3. Diskriminant Hesabı | Δ = b² -4ac=4 -20= -16 | Negatif! (Kompleks kökler) |
| 4. Kökleri bulma (Karmaşık sayı) | x = 1 ± 2i | - |
| 5. y’yi bulma | y = 1 ∓ 2i | - |
| Sonuç | Gerçek çözüm yok, karmaşık çözümler var | x=1±2i, y=1∓2i |
Soru 7) a + 5 = -10 ise a kaçtır?
Adım Adım Çözüm
- Denklem: a + 5 = -10
- Her iki taraftan 5 çıkarılır: a = -10 - 5 = -15
Dolayısıyla, a = -15.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | a + 5 = -10 | - |
| 2 | a = -10 - 5 | - |
| 3 | a = -15 | -15 |
Soru 8) x + y = 3 ve x·y = 2 ise (x, y) değerleri nedir?
Bu da klasik bir iki bilinmeyenli sistemdir:
- x + y = 3
- x·y = 2
Adım Adım Çözüm
-
y Değerini Çekme
x + y = 3 ⇒ y = 3 - x. -
x·y = 2 ⇒ x(3 - x) = 2
3x - x² = 2
-x² + 3x - 2 = 0
x² - 3x + 2 = 0. -
İkinci Dereceden Denklemi Çözme
$$x^2 - 3x + 2 = 0$$
Bu denklemi ya çarpanlarına ayırarak ya da formülle çözebiliriz.
Çarpanlarına Ayırma:
(x - 1)(x - 2) = 0.
Dolayısıyla x = 1 veya x = 2. -
x = 1 ise
y = 3 - 1 = 2. -
x = 2 ise
y = 3 - 2 = 1.
Böylece (x, y) = (1, 2) veya (2, 1) olarak iki farklı gerçek çözüm bulunur.
Ek Bilgiler (x^2 + y^2, x^3 + y^3, vb.)
- x² + y² = (x + y)² - 2xy = 3² - 2·2 = 9 - 4 = 5.
- x³ + y³ = (x + y)(x² + y² - xy) = 3(5 - 2) = 9.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | x + y = 3 ⇒ y = 3 - x | - |
| 2 | x·(3 - x) = 2 ⇒ -x² + 3x - 2 = 0 ⇒ x² - 3x + 2=0 | - |
| 3 | (x - 1)(x - 2) = 0 | x=1 veya x=2 |
| 4 | x=1 ⇒ y=2; x=2 ⇒ y=1 | (1,2) veya (2,1) |
| 5 | x² + y² = 5, x³ + y³=9 (ek bilgi) | - |
Soru 9) x - y = ?, x·y = 2 vb… (Fotoğraftaki Bilgiler Belirsiz)
Fotoğrafta 9 numaralı sorunun bir kısmının görselde bulanık olduğu ve tam okunamadığı görüldü. Elimizde yalnızca “x - … = ?” gibi bir ifade ve kısmen “x = ?” benzeri notlar bulunuyor. Sorunun tam hâli olmadığı için net bir çözüm sunmak zor. Ancak “x - y = ?” ve “x·y = 2” gibi iki ifade tek başına tam bir sistem oluşturmuyor; zira sistemde iki bilinmeyen var ve tek denklem “x·y=2” (artı x - y=? ) verilmişse ek bir koşul daha gerekir. Tam veri sağlandığında yöntem, “x - y” kadar sabit bir değer verilmişse yine x + y= … gibi ek bir denklemle veya başka ipuçlarıyla sonuç bulmak mümkündür.
Soru 10) x² - xy + xz - yz İfadesini Çarpanlarına Ayırınız
Fotoğrafta kısmen göründüğü için 10. soru olduğu tahmin edildi. Bu ifade sıklıkla grup (gruplama) yöntemiyle çarpanlara ayrılır:
Adım Adım Çözüm
-
İfadeyi Gruplama
x² - xy + xz - yz
= (x² - xy) + (xz - yz). -
Ortak Çıkarma
- İlk grupta x ortak: x(x - y).
- İkinci grupta z ortak: z(x - y).
-
Son Adımda (x - y) Ortak Çarpan
x(x - y) + z(x - y) = (x - y)(x + z).
Yani:
$$x^2 - xy + xz - yz = (x - y)(x + z).$$
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Gruplama | (x² - xy) + (xz - yz) | - |
| 2. Ortak çarpan ayırma | x(x - y) + z(x - y) | - |
| 3. Birleştirme (x - y) ortak | (x - y)(x + z) | (x - y)(x + z) |
Soru 21) (a - b - c)² İfadesini Açınız veya Genişletiniz
Cebirde kare açılım formülü:
$$(a - b - c)^2 = (a - (b + c))^2.$$
Adım Adım Çözüm
-
Temel Kare Açılımı
(A - B)² = A² - 2AB + B².
Burada A = a, B = (b + c). -
(b + c)²’yi Açma
(b + c)² = b² + 2bc + c². -
Birleştirme
$$(a - (b+c))^2 = a^2 - 2a(b+c) + (b+c)^2.$$ -
Teker Teker Yazma
- a² sabit,
- -2a(b+c) = -2ab - 2ac,
- (b+c)² = b² + 2bc + c².
-
Tüm Terimleri Toplama
a² + b² + c² - 2ab - 2ac + 2bc.
Bu nedenle:
$$(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc.$$
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | (a - b - c)² = (a - (b+c))² | - |
| 2 | (a - (b+c))² = a² - 2a(b+c) + (b+c)² | - |
| 3 | (b+c)² = b² +2bc + c² | - |
| 4 | Dağıtma | a² + b² + c² -2ab -2ac +2bc |
| 5 | Sonuç | a² + b² + c² - 2ab - 2ac + 2bc |
Soru 22) 3x² - 27y³ İfadesini Çarpanlarına Ayırınız
Cebirde önce ortak çarpan (ortak katsayı) bulunur:
Adım Adım Çözüm
-
Ortak Çıkarma
3x² - 27y³
Her iki terimde de 3 sabit çarpan vardır:
= 3(x² - 9y³). -
Kalan ifadeyi inceleme
(x² - 9y³) yapısı, klasik bir farklar formuna (örneğin farkı kareler, farkı küpler) kolayca oturmamaktadır; x² ile 9y³ (3²·y³) uyumlu bir tam kare veya tam küp farkı değildir.
Dolayısıyla, x² - 9y³ ifadesinde reel sayılar için ek bir çarpanına ayırma yoktur.
Sonuç olarak:
$$3x^2 - 27y^3 = 3(x^2 - 9y^3).$$
Burada durmak yeterlidir.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | 3 ortak çarpanını ayırma | 3(x² - 9y³) |
| 2 | x² - 9y³’ü inceleme | Ek faktör yok (reel) |
| 3 | Sonuç | 3(x² - 9y³) |
Soru 23) (3a - 2b)² İfadesini Açınız
Adım Adım Çözüm
Kare açılım formülü (A - B)² = A² - 2AB + B² esas alınır. Burada A = 3a, B = 2b.
- A² = (3a)² = 9a²
- B² = (2b)² = 4b²
- -2AB = -2·(3a)·(2b) = -12ab
Dolayısıyla:
$$(3a - 2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2.$$
Özet Tablo
| Terim | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| A (3a) | (3a)² | 9a² |
| B (2b) | (2b)² | 4b² |
| -2AB | -2·(3a)·(2b) | -12ab |
| Toplam | 9a² -12ab +4b² | 9a² -12ab +4b² |
Soru 24) (x+1)ⁿ …? (Fotoğrafta Net Değil)
-
sorunun tamamı görüntüde net olmadığı için sadece “(x+1)^(…?) açılımı” gibi bir kısım seçilebiliyor. Eğer (x+1)², (x+1)³, vb. ise şu şekilde özetleyebiliriz:
-
(x+1)² = x² + 2x + 1.
-
(x+1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1.
Veya binom açılımı (Binom Teoremi) ile:
$$(x + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} \cdot 1^k.$$
Sorunun asıl hedefi neyse (örneğin n=2 veya n=3), bu kurallara göre açılım yapılır.
Tüm Soruların Kısa Bir Özeti
Aşağıda kısa fakat toplu bir bakış sunuyoruz:
| Soru No | Soru İçeriği | Kısa Çözüm/İpucu |
|---|---|---|
| 5 | a = b + 5, b=3/2 ise a=? | a = (3/2) + 5 = 13/2 = 6.5 |
| 6 | x + y=2, xy=5 → x,y=? (İki bilinmeyenli sistem) | Diskriminant <0, reel çözüm yok, karmaşık çözümler: (1±2i) |
| 7 | a + 5 = -10 → a=? | a= -15 |
| 8 | x + y=3, xy=2 → x,y=? | x=1, y=2 veya x=2, y=1 |
| 9 | x-y=? ve xy=2 (kısmen eksik) | Eksik veri, tam sonuç için ek denklem/koşul gerekir |
| 10 | x² - xy + xz - yz → çarpanlara ayırma | (x - y)(x + z) |
| 21 | (a - b - c)² → açılım | a² + b² + c² - 2ab -2ac +2bc |
| 22 | 3x² -27y³ → çarpanlara ayırma | 3(x² - 9y³) |
| 23 | (3a -2b)² → açılım | 9a² -12ab +4b² |
| 24 | (x+1)ⁿ → açılım (belirsiz n) | (x+1)²= x²+2x+1, (x+1)³= x³+3x²+3x+1 vb. (Binom Teoremi) |
Genel Değerlendirme ve Özet
-
Basit Doğrusal Denklemler
a = b + 5 gibi tek adımlı denklemlerde bilinmeyen, doğrudan yerine koyma yapılarak bulunur. -
İki Bilinmeyenli Sistemler (x + y = …, x·y = …)
- Toplamı ve çarpımı verilen iki sayıyı bulmak için genellikle ikinci dereceden denklem kurulup diskriminant incelenir. Diskriminant pozitifse reel iki çözüm, sıfırsa çift katlı reel çözüm, negatifse karmaşık çözüm ortaya çıkar.
-
İfadelerin Kare Açılımı
- (a - b - c)², (3a - 2b)² gibi ifadeler klasik formül (A - B)² = A² - 2AB + B² veya (A + B)² = A² + 2AB + B² esasına dayanır.
- Birden fazla terimde (a - b - c)² → (a - (b+c))² şekline dönüştürüp açmak gerekir.
-
Çarpanlara Ayırma
- Grup (gruplama) yöntemi (Örn: x² - xy + xz - yz = (x - y)(x + z)).
- Ortak çarpan bulma (3x² - 27y³ = 3(x² - 9y³)).
- Farklı formüller: Fark/kare/küp farkı, vb. Her sorunun tipine göre uygun yöntem seçilir.
-
Binom Açılımı
- (x + 1)ⁿ gibi ifade söz konusuysa Binom Teoremi devreye girer:
$$ (x+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} 1^k. $$ - Özel durumlarda n=2 veya n=3 açılımı ezbere bilinir.
- (x + 1)ⁿ gibi ifade söz konusuysa Binom Teoremi devreye girer:
Bu çözümlerle, fotoğrafta seçilebilen soruların ana hatları ve varsa sayısal/fonksiyonel sonuçları açıklanmıştır. Eksik veya bulanık kalan yerlerde ise ek bilgiye ihtiyaç olduğu belirtilmiştir.
(21) (a - b - c)²’yi çarpanlarına ayırınız. (22) 3x² - 27y³’ü çarpanlarına ayırınız. (23) (3a - 2b)²’yi çarpanlarına ayırınız.
Answer:
-
(21) (a - b - c)²
• Bu ifade zaten bir tam kare ifadedir. En basit “çarpanlarına ayrılmış” hâli:
(a - b - c)(a - b - c).
• İsterseniz açarak da yazabilirsiniz:
(a - b - c)² = a² + b² + c² - 2ab - 2ac + 2bc.
• Ancak “çarpanlar” biçimi, (a - b - c)(a - b - c) şeklindedir. -
(22) 3x² - 27y³
• Öncelikle 3 ortak çarpanını dışarı alalım:
3(x² - 9y³).
• x² - 9y³ ifadesi, standart bir fark veya tam kare/küp biçimine uymadığından, burada daha fazla “çarpanlara ayırma” yapılamaz. Sonuç:
3(x² - 9y³). -
(23) (3a - 2b)²
• Bu da bir tam kare ifadedir. Çarpanlarına ayrılmış hâli, aynı çarpanı iki kere yazmaktan ibarettir:
(3a - 2b)(3a - 2b).
• İstersek açılımını da belirtelim:
(3a - 2b)² = 9a² - 12ab + 4b².
Kısacası:
• (a - b - c)² = (a - b - c)(a - b - c)
• 3x² - 27y³ = 3(x² - 9y³)
• (3a - 2b)² = (3a - 2b)(3a - 2b)
@User