2.,3.,4. Sorular
2.,3.,4. Sorular
Cevap:
Aşağıda, her bir soruyu (2., 3. ve 4. sorular) ayrı başlıklar altında ele alarak ayrıntılı çözümleri ve açıklamaları paylaştım. Lütfen her bölümün çözüm adımlarını inceleyerek sorularınıza yanıt bulabilirsiniz. Ayrıca yanıtın sonunda özet bir tablo eklenmiştir.
2. Soru
Denklem sistemi:
- x^2 + y^2 = 10
- x^2 - y = 8
Bu sistemin çözüm kümesini bulmak için sırasıyla şu adımları izleyebiliriz:
Adım 1: İkinci Denklemden $y$’yi İfade Edin
İkinci denklem x^2 - y = 8 şeklindedir. Buradan $y$’yi çekelim:
y = x^2 - 8
Adım 2: Birinci Denklemde Yerine Koyma (Substitution)
Birinci denklem x^2 + y^2 = 10 olmakla birlikte, yukarıda bulduğumuz y = x^2 - 8 ifadesini birinci denklemde y^2 yerine koyarız:
x^2 + (x^2 - 8)^2 = 10
Bu ifadeyi açalım:
x^2 + (x^4 - 16x^2 + 64) = 10
Yukarıdaki denklemi düzenleyelim:
x^4 + x^2 - 16x^2 + 64 = 10 \quad \Longrightarrow \quad x^4 - 15x^2 + 64 = 10
Dolayısıyla
x^4 - 15x^2 + 54 = 0
Adım 3: Dördüncü Dereceden Denklemi İkinci Dereceye Düşürme
Denklemi çözmek için u = x^2 diyelim. Böylece denklem şu hâle gelir:
u^2 - 15u + 54 = 0
Bu ikinci dereceden bir denklem olup çarpanlara ayırmaya çalışalım:
u^2 - 15u + 54 = (u - 9)(u - 6) = 0
Dolayısıyla
u = 9 \quad \text{ya da} \quad u = 6
Ancak u = x^2 olduğuna göre:
- x^2 = 9 \implies x = \pm 3
- x^2 = 6 \implies x = \pm \sqrt{6}
Adım 4: $y$’nin Hesaplanması
Her bir x değeri için y = x^2 - 8 ifadesinden $y$’yi bulalım:
- x = 3 \Rightarrow y = 3^2 - 8 = 9 - 8 = 1
- x = -3 \Rightarrow y = (-3)^2 - 8 = 9 - 8 = 1
- x = \sqrt{6} \Rightarrow y = 6 - 8 = -2
- x = -\sqrt{6} \Rightarrow y = 6 - 8 = -2
Böylece sistemin tüm gerçek çözüm çiftleri aşağıdaki gibidir:
(3, 1), \quad (-3, 1), \quad (\sqrt{6}, -2), \quad (-\sqrt{6}, -2).
3. Soru
Denklem sistemi:
- x^2 + y - 5 = 0
- x^2 - y + 55 = 0
Bu sistemi çözmek için yine yerine koyma (substitution) yöntemini kullanabiliriz.
Adım 1: Birinci Denklemi Düzenleme
Birinci denklem:
x^2 + y - 5 = 0 \quad \Longrightarrow \quad y = 5 - x^2
Adım 2: İkinci Denklemi Düzenleme
İkinci denklem:
x^2 - y + 55 = 0
Buradan y aşağıdaki gibi elde edilir:
-y = -x^2 - 55 \quad \Longrightarrow \quad y = x^2 + 55
Adım 3: Eşitlikten Çelişkiye Gidiş
Yukarıdaki adımlarda y iki farklı biçimde ifade edildi:
- Birinci denklemden: y = 5 - x^2
- İkinci denklemden: y = x^2 + 55
Aynı y değerini karşılaştırırsak:
5 - x^2 = x^2 + 55
Bunu çözelim:
5 - x^2 = x^2 + 55 \quad \Longrightarrow \quad -x^2 - x^2 = 55 - 5 \quad \Longrightarrow \quad -2x^2 = 50 \quad \Longrightarrow \quad x^2 = -25
Gerçek sayılar arasında x^2 = -25 mümkün olmadığı için gerçek çözüm yoktur. Bu sistemin reel çözümler kümesi boş kümedir.
Eğer kompleks çözümler düşünülürse x = \pm 5i gibi çözümler bulunabilir; ancak genellikle ortaokul/lise düzeyinde bu noktada “reel çözüm yoktur” denmesi yeterlidir.
4. Soru
Denklem sistemi:
- x - y = 10
- x + y = 20
Bu iki basit doğrunun kesişim noktasını bulmak için toplama veya çıkarma yöntemlerini uygulayabiliriz.
Adım 1: Toplama Yöntemi
Denklemleri toplayalım:
- (1) x - y = 10
- (2) x + y = 20
İki denklemi toplarsak x + x - y + y = 10 + 20 sonucuna ulaşırız:
2x = 30 \quad \Longrightarrow \quad x = 15
Adım 2: $y$’yi Elde Etme
x = 15 bulduktan sonra birinci denklemde yerine koyalım:
15 - y = 10 \quad \Longrightarrow \quad y = 15 - 10 = 5
Dolayısıyla sistemin çözümü (x,y) = (15,5) olur.
Ek Açıklamalar ve İpuçları
-
Yerine Koyma Yöntemi: İki ya da daha fazla denklemin oluşturduğu sistemlerde en yaygın kullanılan yöntemlerden biri, bir denklemden bir değişkeni çekip diğer denklemlere bu ifadeyi yerleştirmektir. Böylece tek bir değişkene indirgediğiniz ifadeleri çözmek mümkün olur.
-
Polinom Denklemler: 2. soruda olduğu gibi zaman zaman denklemler birleştirildiğinde dördüncü derece polinomlar elde edilebilmektedir. Bu polinomlar kimi zaman u = x^2 veya benzeri tanımlamalarla ikinci dereceye indirgenebildiğinden çözümleri daha kolaylaşır.
-
Çakışma-Çelişki: 3. sorudaki gibi denklemlerde, değişkenlerden herhangi birinde gerçek bir çözüm vermeyen durumlar ortaya çıkabilir. Böyle durumlarda ya çözüm “gerçek sayı kümesinde yok” denir ya da karmaşık (kompleks) sayılar düşünülebilir.
-
Lineer Sistemlerde Kolaylık: 4. soru gibi lineer (doğrusal) denklem sistemlerini çözmenin en kolay yollarından biri toplama-çıkarma veya yerine koyma yöntemleridir. Literatürde bu tür problemlerin çözümü Matris Yöntemi veya Cramer Kuralı ile de yapılabilir, ancak kısa sistemlerde basit toplama/çıkarma yöntemleri sıklıkla en pratiktir.
Özet Tablo
| Soru | Denklemler | Çözüm(ler) |
|---|---|---|
| 2. | 1) x^2 + y^2 = 10 2) x^2 - y = 8 |
(3, 1), (-3, 1), (\sqrt{6}, -2), (-\sqrt{6}, -2) |
| 3. | 1) x^2 + y - 5 = 0 2) x^2 - y + 55 = 0 |
Gerçek çözümler kümesi boş. (Kompleks çözümler: x = \pm 5i, y = -25 + 55 = 30) |
| 4. | 1) x - y = 10 2) x + y = 20 |
(15, 5) |
Yukarıdaki tablo ile birlikte her bir sorunun adımlarını takip ederek sonuca ulaşabilirsiniz. Özellikle 2. soruda elde ettiğimiz dördüncü dereceden denklemi ikinci dereceye dönüştürme tekniği, bu tip sistemlerde sıkça kullanılan bir yöntemdir. 3. soruda ise denklemleri karşılaştırdığımızda bir çelişki ortaya çıktığı ve reel sayılarda çözüm olmadığı açıkça görülmektedir. 4. soruda ise basit toplama yöntemiyle birkaç adımda hızlıca çözüm yapılabilmektedir.
Umarım bu çözüm yolları ve elde edilen sonuçlar, soruları daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. İyi çalışmalar!
Daha kısau olsun
2., 3. ve 4. Soruların Daha Kısa Çözümleri
Cevap:
Aşağıda, 2., 3. ve 4. soruların her birine yönelik daha kısa ama yine de yeterli olacak çözümler yer almaktadır. Temel adımları vurgulayarak sadeleştirilmiş bir biçimde sunuyorum. En altta özet bir tablo ile de sonuçları görebilirsiniz.
2. Soru
Denklem Sistemi:
- x^2 + y^2 = 10
- x^2 - y = 8
Kısa Çözüm Adımları:
- İkinci denklemi düzenle: y = x^2 - 8.
- Birinci denklemde y yerine x^2 - 8 yaz:x^2 + (x^2 - 8)^2 = 10.Açıldığında x^4 - 15x^2 + 64 = 10 \Rightarrow x^4 - 15x^2 + 54 = 0.
- u = x^2 ile değişkeni azalt: u^2 - 15u + 54 = 0. Çarpanlara ayır: (u - 9)(u - 6) = 0.
Dolayısıyla u = 9 veya u = 6. - u = x^2 olduğuna göre:
- x^2 = 9 \implies x = \pm 3.
- x^2 = 6 \implies x = \pm \sqrt{6}.
- Her x için y = x^2 - 8:
- x = 3 \implies y = 1.
- x = -3 \implies y = 1.
- x = \sqrt{6} \implies y = -2.
- x = -\sqrt{6} \implies y = -2.
Çözüm kümesi:
(3, 1), (-3, 1), (√6, -2), (-√6, -2)
3. Soru
Denklem Sistemi:
- x^2 + y - 5 = 0
- x^2 - y + 55 = 0
Kısa Çözüm Adımları:
- Birinci denklemden: y = 5 - x^2.
- İkinci denklemden: y = x^2 + 55.
- Aynı y için iki ifade eşitse: 5 - x^2 = x^2 + 55. Bu, -2x^2 = 50 vereceğinden x^2 = -25 çıkar.
- Gerçek sayılarda x^2 = -25 mümkün değildir.
Çözüm kümesi (reel sayılarda):
Boş küme
(İsterseniz karmaşık sayılarla x = \pm 5i, \, y = 30 biçiminde karmaşık çözümler bulunabilir; ama gerçekte yok.)
4. Soru
Denklem Sistemi:
- x - y = 10
- x + y = 20
Kısa Çözüm Adımları:
- İki denklemi toplayın: (x - y) + (x + y) = 10 + 20 \implies 2x = 30 \implies x = 15.
- x = 15 değerini birinci ya da ikinci denklemde yerine koyun: 15 - y = 10 \implies y = 5.
Çözüm:
(15, 5)
Özet Tablo
| Soru | Denklemler | Çözüm(ler) |
|---|---|---|
| 2. | 1) x^2 + y^2 = 10 2) x^2 - y = 8 |
(3, 1), (-3, 1), (\sqrt{6}, -2), (-\sqrt{6}, -2) |
| 3. | 1) x^2 + y - 5 = 0 2) x^2 - y + 55 = 0 |
Gerçek çözüm yok (boş küme) |
| 4. | 1) x - y = 10 2) x + y = 20 |
(15, 5) |
Bu şekilde, katsayılarla basit işlem yaparak veya denklem içi yerine koyma yönteminden yararlanarak sonuçlara hızlıca ulaşabilirsiniz. Çözümlerinizde herhangi bir belirsizlik ya da hata ortaya çıkmasın diye tüm denklemleri art arda kontrol etmeniz yararlı olacaktır.