3, 4, 5 ve 6 numaralı soruların çözümleri
Aşağıda, her bir denklem sisteminin açık şekilde nasıl çözüleceğini adım adım gösteriyor; ayrıca her sorunun kısa bir özet tablosunu da ekliyorum. Her çözüme başlamadan önce, hangi ifadeyi çözmemiz gerektiğini net biçimde belirteceğiz.
3) 2x – 3y – 16 = 0 ve y = –2x
Bu soru “denklem sistemini sağlayan x ve y değerleri için x·y çarpımı kaçtır?” olarak görünüyor. Adımları izleyelim:
-
İkinci denklem doğrudan y’yi veriyor:
$$y = -2x.$$ -
Bu değeri birinci denkleme (2x – 3y – 16 = 0) yerleştirelim:
$$2x - 3(-2x) - 16 = 0.$$ -
Parantezleri açarak düzenleyelim:
$$2x + 6x - 16 = 0.$$ -
x’i bulalım:
$$8x - 16 = 0 \quad\Rightarrow\quad 8x = 16 \quad\Rightarrow\quad x = 2.$$ -
y’yi bulmak için y = –2x ifadesinde x = 2’yi yerine koyalım:
$$y = -2 \cdot 2 = -4.$$ -
İstenen x·y çarpımı:
$$x \cdot y = 2 \cdot (-4) = -8.$$
Cevap (3. soru): x·y = -8.
4) 2x + 3y + 6 = 0 ve x – y – 12 = 0
Bu soru genellikle “denklem sistemini sağlayan x ve y değerleri için x – y kaçtır?” yahut benzeri bir ifadeyle karşımıza çıkıyor. Burada çözüm adımları:
-
İkinci denklem:
$$x - y = 12 \quad\Rightarrow\quad y = x - 12.$$ -
Bu y değerini birinci denklemde yerine koyuyoruz (2x + 3y + 6 = 0):
$$2x + 3(x - 12) + 6 = 0.$$ -
Dağıtıp düzenleyelim:
$$2x + 3x - 36 + 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad 5x - 30 = 0.$$ -
x’i bulalım:
$$5x = 30 \quad\Rightarrow\quad x = 6.$$ -
y = x - 12 ifadesinden:
$$y = 6 - 12 = -6.$$
Eğer soruda istenen ifade “x - y” ise:
$$x - y = 6 - (-6) = 6 + 6 = 12.$$
Bazı testlerde “x·y” de sorulabilir; o durumda x·y = 6·(-6) = -36 olur. Ancak genelde sorunun çoktan seçmeli şıkları 12 etrafında dönüyorsa, sorulmak istenenin “x - y” olması daha muhtemeldir.
Cevap (4. soru): x - y = 12.
5) (Eksik veya net olmayan sistem)
Sorunun görselinden net biçimde okunamayan bir sistem var. Fotoğrafa bakılırsa iki kesirli denklem yan yana verilmiş, fakat tam olarak şu biçimde olduğu varsayılabilir:
[
\begin{cases}
\frac{y}{5} = \frac{2x - 4}{3},\
\frac{y}{5} = \frac{x + 8}{3}.
\end{cases}
]
Ancak bu hâliyle çözüldüğünde x = 12 sonucu çıkmakta (y = 100/3). Fakat çoktan seçmeli şıklar (A) -9, (B) -8, (C) -6, (D) 4, (E) 8 şeklindedir ve 12 bu listede yer almamaktadır. Dolayısıyla sistemin bir yerinde eksi veya artı işaretlerinde, ya da kesirlerin yerleşiminde farklılık olabilir.
Örneğin bazı kitaplarda şu tip bir soru karşımıza çıkar:
[
\begin{cases}
\frac{2x}{3} - \frac{y}{5} = 4,\[6pt]
\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = -8.
\end{cases}
]
Bu tür denklemler minik işaret farklarıyla sonucun listedeki şıklardan birine uymasını sağlar.
Elimizdeki görselde 5. sorunun net ifadesi bulanık olduğu için, doğru sistemi çıkarıp çözme imkânımız maalesef kısıtlıdır. Sizin elinizde soru kitapçığının tam metni varsa, doğrulamayı oradan yaparak şu adımları izleyebilirsiniz:
- İki denklemi karşılıklı olarak düzenleyip “y” ya da “x” yalnız bırakabilirsiniz.
- Bulduğunuz ifadeyi diğer denklemde yerine koyarak tek bilinmeyenli hale getirip x veya y’yi bulursunuz.
- İlk denklemden bir bilinmeyeni çekip ikinciye takarak kontrol edebilir, şıklardan birini doğrulayabilirsiniz.
Kısaca 5. soru: Metinde veya görselde bir eksik/yanlışlık var gibi göründüğünden, kesin bir sonuca varmak güçtür. Elinizdeki orijinal problem kontrol edilerek doğru çözümleme yapılmalıdır.
6) 2x : 3y = 5 : 4 ve x + 3y – 39 = 0
Bu soru sıklıkla “denklem sistemini sağlayan x değerini bulunuz” şeklinde karşımıza çıkar. İlk ifadeyi orantı biçiminde şu şekilde yazabiliriz:
[
\frac{2x}{3y} = \frac{5}{4}.
]
Buradan içler dışlar çarpımı yapılır:
[
8x = 15y
\quad\Rightarrow\quad
y = \frac{8}{15}x.
]
İkinci denklemde ( x + 3y – 39 = 0 ) y yerine (8/15)x koyalım:
[
x + 3\left(\frac{8}{15}x\right) - 39 = 0.
]
Düzenleyelim:
[
x + \frac{24}{15}x - 39 = 0
\quad\Rightarrow\quad
x\left(1 + \frac{24}{15}\right) = 39.
]
1 = 15/15 olduğuna göre 15/15 + 24/15 = 39/15’tir. Böylece:
[
x \cdot \frac{39}{15} = 39
\quad\Rightarrow\quad
x = 39 \cdot \frac{15}{39} = 15.
]
Bulduğumuz x = 15’tir. İsterseniz y’yi de hesaplarsanız:
[
y = \frac{8}{15} \cdot 15 = 8.
]
Cevap (6. soru): x = 15.
Özet Tablosu
| Soru No | Denklem Sistemi | Çözüm Yöntemi | Çıkan Sonuç (İstenilen) |
|---|---|---|---|
| 3 | 1) 2x – 3y – 16 = 0 2) y = −2x |
y’yi yerine koyma | x = 2, y = −4 x·y = -8 |
| 4 | 1) 2x + 3y + 6 = 0 2) x − y = 12 |
y = x − 12, yerine koyma | x = 6, y = −6 x − y = 12 |
| 5 | (Net ifadesi eksik/kesirli denklem sistemi) | (Eksik bilgi) | (Kararsız, yeniden kontrol gerek) |
| 6 | 1) 2x : 3y = 5 : 4 2) x + 3y − 39 = 0 |
Orantı + yerine koyma | x = 15, y = 8 |
Yukarıdaki tabloda 3, 4 ve 6 numaralı soruların çözümleri kesin olarak listelenmiştir. 5. sorudaki denklem sisteminde görünen eksiklik veya yazım farkı (özellikle kesir kısımlarında) çözümü netleştirmeyi güçleştirmektedir. Sorunun kitapçıkta tam hâlini inceleyerek aynı yöntemi (bir bilinmeyeni diğerinde yerine koyma veya basit orantı teknikleri) uygulayarak ilgili x veya y değerini bulabilirsiniz.
Dikkat Edilecek Noktalar
- Birinci dereceden iki bilinmeyenli sistemlerde en yaygın yöntem “değişkenlerden birini yalıtıp diğer denklemde yerine koyma (substitution) veya denklem toplama/çıkarma yöntemleri”dir.
- Doğru sonuca ulaştığınızda, çoğu zaman elde ettiğiniz (x, y) ikilisini yeniden özgün denklemlerde kontrol etmeniz hatalara karşı koruyucudur.
- Özellikle kesirli veya orantılı denklemlerde ufak işaret hataları veya payda çarpımlarındaki yanlışlar sonucu saptırabilir. Bu yüzden her adıma dikkat etmek gerekir.
Umarım bu çözümler ve açıklamalar işinizi kolaylaştırır. Özellikle 5. sorunun tam metnini teyit edebilirseniz, benzer şekilde adım adım rahatlıkla çözüme ulaşabilirsiniz.
5 ve 6yı tekrar çözer misin? Anlamadım aç
5 ve 6 numaralı soruların ayrıntılı çözümleri
Aşağıda, iki sorunun da adım adım çözümünü detaylıca anlatıyorum. Her denklemi nasıl dönüştürdüğümü ve hangi işlemleri uyguladığımı dikkatlice gösterdim. En sonda bir özet tablosu da ekliyorum.
5) Soru ve Olası Denklem Sistemi
Fotoğrafa göre 5. sorunun yapısı kesirli ifadeler içeriyor. Net olmamakla birlikte tipik bir biçimi şu şekilde olabilir:
\frac{y}{5} = \frac{2x - 4}{3}
\frac{y}{5} = \frac{x + 8}{3}
Bu iki denklem, aynı anda doğruysa y/5 her iki tarafta da aynı değere eşit demektir. Dolayısıyla şu adımları izleriz:
Adım 1: İki denklemden elde edeceğimiz y ifadeleri
• Birinci denklemde:
\frac{y}{5} = \frac{2x - 4}{3}
\quad\Longrightarrow\quad
y = 5 \cdot \frac{2x - 4}{3}
= \frac{5(2x - 4)}{3}.
• İkinci denklemde:
\frac{y}{5} = \frac{x + 8}{3}
\quad\Longrightarrow\quad
y = 5 \cdot \frac{x + 8}{3}
= \frac{5(x + 8)}{3}.
Adım 2: y ifadelerini eşitleme
Her iki denklem de $y/5$’in aynı değere eşit olduğunu söylediğinden, bu iki y ifadesi birbirine eşit olmalı:
\frac{5(2x - 4)}{3} = \frac{5(x + 8)}{3}.
Her iki tarafta 5/3 katsayısı mevcut, bu katsayılar (eğer 0 değilse) birbirini götürür; geriye kalan:
2x - 4 = x + 8.
Adım 3: $x$’i bulma
Denklemi çözelim:
2x - 4 = x + 8
\quad\Longrightarrow\quad
2x - x = 8 + 4
\quad\Longrightarrow\quad
x = 12.
Adım 4: $y$’yi bulma
İster birinci denklemde ister ikinci denklemde $x$’in yerine 12 yazarak $y$’yi hesaplarsak:
• Birinci denklemde:
y = \frac{5(2 \cdot 12 - 4)}{3}
= \frac{5(24 - 4)}{3}
= \frac{5 \cdot 20}{3}
= \frac{100}{3}.
(Eğer ikinci denklemde kullansaydık aynı sonucu elde ederdik.)
Adım 5: Sonuç
Bu sistemden x = 12 ve y = \tfrac{100}{3} çıkar. Soru her neyse – örneğin “sistemi sağlayan x değeri kaçtır?” – sevgili şıklardan 12 varsa cevabımız 12 olacaktır. Ya da “sistemi sağlayan y değeri kaçtır?” diye soruyorsa \tfrac{100}{3} cevabına ulaşırız.
Eğer çoktan seçmeli şıklarda bu değerler yoksa denklemlerde işaret hatası ya da başka bir eksi/artı farklılığı olabilir. O nedenle orijinal metni yeniden kontrol etmek önemli. Ancak en yaygın yorumla bu biçimde “5. soru”nun çözümü budur.
6) 2x : 3y = 5 : 4 ve x + 3y – 39 = 0
Bu soru daha net görünüyor çünkü elimizde bir orantı ve bir lineer denklem var. Aşağıda çözümü adım adım gösteriyorum:
Adım 1: Orantıyı denklem biçimine çevirme
“2x : 3y = 5 : 4” ifadesi, orantı demektir:
\frac{2x}{3y} = \frac{5}{4}.
İçler dışlar çarpımı yaparız:
4 \cdot 2x = 5 \cdot 3y
\quad\Longrightarrow\quad
8x = 15y
\quad\Longrightarrow\quad
y = \frac{8}{15} x.
Adım 2: İkinci denklemde yerine koyma
İkinci denklem “$x + 3y - 39 = 0$” şeklinde verilmiş. Bulduğumuz y = \tfrac{8}{15}x ifadesini bu denklemde y yerine yerleştiririz:
x + 3\Bigl(\tfrac{8}{15} x\Bigr) - 39 = 0.
Adım 3: Toplamayı düzenleme
Parantezi açıp işlemleri yapalım:
x + \frac{24}{15}x - 39 = 0.
x + \tfrac{24}{15}x ifadesini ortak payda (15) üzerinden düşünürsek:
x = \frac{15}{15} x,
dolayısıyla:
\frac{15}{15}x + \frac{24}{15}x = \frac{39}{15}x.
Adım 4: $x$’i bulma
Bu durumda denklemimiz:
\frac{39}{15}x - 39 = 0
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{39}{15}x = 39.
Her iki tarafı 39 ile sadeleştirebiliriz:
\frac{39}{15}x = 39
\quad\Longrightarrow\quad
x = 39 \cdot \frac{15}{39} = 15.
Adım 5: $y$’yi bulma
Yukarıda y = \tfrac{8}{15}x olduğunu biliyoruz. Şimdi x = 15 değerini yerine yazarız:
y = \frac{8}{15} \cdot 15 = 8.
Adım 6: Sonuç
Denklem sistemini sağlayan değerler x=15 ve $y=8$’dir. Sorunun formatına göre yanıt genelde “$x$ kaçtır?” ise 15; “$y$ kaçtır?” ise 8 olur.
Özet Tablosu
Aşağıda 5 ve 6 numaralı soruların çözüm adımları ve çözümleri tablolaştırılmıştır:
| Soru | Denklem Sistemi (Varsayılan/Tahmini) | Temel İşlem | Çözüm |
|---|---|---|---|
| 5 | 1) y/5 = (2x-4)/3 2) y/5 = (x+8)/3 |
Her iki denklemde y eşitlenir | x=12, y=\tfrac{100}{3} |
| 6 | 1) \frac{2x}{3y} = \frac{5}{4} 2) x + 3y - 39 = 0 |
Orantıdan y=\tfrac{8}{15}x elde et; sonra yerine koy | x=15, y=8 |
Bu tabloda, Soru 5’te net denklem ifadesi netleştirildiğinde bu çözüme ulaşırsınız. Eğer sizdeki orijinal soruda ufak işaret veya sayı farklılıkları varsa (örneğin, “-8” yerine “+8” ya da “2x - 4” yerine “2x + 4” gibi), sonuçlar değişebilir.
5’in adım adım çözüm mantığı:
- Denklemler kesirli biçimde veriliyorsa, her bir denklemde payda çarpımı yaparak x ve y ilişkisi yazılır.
- Ardından y için bulunan iki farklı ifade birbirine eşitlenir.
- Bu işlem sonucunda x bulunur ve geriye dönülerek y hesaplanır.
6’nın adım adım çözüm mantığı:
- Orantı ifadesinden $y$’yi (veya $x$’i) yalnız bırakürız.
- Bulduğumuz ifadeyi lineer (doğrusal) denklemde yerine koyup tek bilinmeyenli hale getiririz.
- Bulduğumuz değeri tekrar orantıdaki ifadeye yazarak diğer bilinmeyeni elde ederiz.
Bu şekilde, hem denklem sistemini hem orantı sorunlarını adım adım çözmüş oluyoruz.
Attığımda 1 ve 2. sorunun cevabı doğru mu?
1 ve 2. sorulardaki denklem sistemlerini adım adım çözelim ve sonuçları kontrol edelim. Böylece elinizdeki cevapların doğruluğunu teyit edebilirsiniz.
1) Soru:
- Birinci denklem:
$$-x + y = 4.$$ - İkinci denklem:
$$3x + y = 6.$$
Soru kitaplarında kimi zaman “denklem sistemini sağlayan x ve y değerlerinin toplamı kaçtır?” diye sorulabiliyor. Bu durumda $x + y$’yi bulmamız yeterli. Ancak önce tek tek x ve $y$’yi bulalım:
Adım 1: Birinci denklemden $y$’yi yalnız bırakma
Birinci denklem:
$$-x + y = 4 \quad\Rightarrow\quad y = 4 + x.$$
Adım 2: İkinci denkleme yerleştirme
İkinci denklem:
$$3x + y = 6.$$
Burada y yerine (4 + x) koyuyoruz:
3x + (4 + x) = 6
\quad\Longrightarrow\quad
3x + 4 + x = 6
\quad\Longrightarrow\quad
4x + 4 = 6.
Adım 3: $x$’i bulma
4x + 4 = 6
\quad\Rightarrow\quad
4x = 2
\quad\Rightarrow\quad
x = \tfrac{2}{4} = 0.5.
Adım 4: $y$’yi bulma
Birinci denklemden elde ettiğimiz y = 4 + x ifadesiyle:
y = 4 + 0.5 = 4.5.
Adım 5: İstenen ifade (örneğin x + y)
x + y = 0.5 + 4.5 = 5.
Eğer siz 1. soru için
- x+y=5
- veya doğrudan (x, y) = (0.5, 4.5)
bulduysanız, doğru cevabı elde etmişsiniz demektir.
2) Soru:
- Birinci denklem:
$$2a - 5b = 7.$$ - İkinci denklem (fotoğrafta “1/a - 4b = 5” gibi görünse de muhtemelen “a - 4b = 5”tir):
$$a - 4b = 5.$$
Burada da sıklıkla “denklem sistemini sağlayan a ve b değerleri için a + b nedir?” şeklinde sorulur. Aşağıdaki adımlarla kontrol edelim:
Adım 1: İkinci denklemden $a$’yı yalnız bırakma
İkinci denklem:
a - 4b = 5
\quad\Rightarrow\quad
a = 5 + 4b.
Adım 2: Birinci denkleme yerleştirme
Birinci denklem:
2a - 5b = 7.
Burada a yerine (5 + 4b) koyuyoruz:
2(5 + 4b) - 5b = 7
\quad\Longrightarrow\quad
10 + 8b - 5b = 7
\quad\Longrightarrow\quad
3b + 10 = 7.
Adım 3: $b$’yi bulma
3b = 7 - 10
\quad\Rightarrow\quad
3b = -3
\quad\Rightarrow\quad
b = -1.
Adım 4: $a$’yı bulma
a = 5 + 4b
= 5 + 4(-1)
= 5 - 4
= 1.
Adım 5: a + b
(a + b) = 1 + (-1) = 0.
Bu da bize gösteriyor ki 2. soru için doğru çözüm (a, b) = (1, -1) ve dolayısıyla a + b = 0 şeklindedir.
Eğer sizin bulduğunuz sonuç a+b = 0 ise cevabınız doğru demektir. Başka bir sonuç (örneğin 1 gibi) bulduysanız muhtemelen bir işlem hatası olmuş olabilir.
Doğruluk Kontrolü
| Soru No | Denklemler | Bulunan Çözüm | a+b veya x+y |
|---|---|---|---|
| 1 | 1) -x + y = 4 2) 3x + y=6 |
x=0.5,<\!>y=4.5 | 5 |
| 2 | 1) 2a - 5b=7 2) a - 4b=5 |
a=1,\! b=-1 | 0 |
- 1. soru doğrusu: x=0.5,\! y=4.5 (ve x+y=5).
- 2. soru doğrusu: a=1,\! b=-1 (ve a+b=0).
Bu sonuçlarla elinizdeki cevapların eşleşip eşleşmediğini kolayca kıyaslayabilirsiniz. Eşleşiyorsa cevaplarınız doğru, eşleşmiyorsa bir adımda hata yapmış olabilirsiniz.