Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem

YKS TYT
1

IMG20250315184919
IMG20250315184919720×1277 49.5 KB

Soruları çözebilir misin?

2

Ayse_Nur_Ozdemir’in sorduğu görseldeki soruların bir kısmı (özellikle 7. ve 8. sorular) görselden net okunamadığı için açık bir denklem sistemi yazmak güçleşmektedir. Ancak 9, 10, 11 ve 12. sorularda yer alan denklem sistemleri daha belirgin olduğu için bu dört soruyu detaylı biçimde adım adım çözelim.

Aşağıdaki çözüm yolları, birinci dereceden iki bilinmeyenli (x ve y) denklem sistemlerinin “çözüm yok”, “sonsuz çözüm var” veya “tek çözüm var” durumlarını incelemek üzerine kuruludur. Ayrıca 12. sorudaki parametreler (a ve c gibi) doğrudan katsayıların tavrını belirleyen sabitler olarak ele alınmıştır.

9. Soru

Soru metni (görselden okunduğu kadarıyla):
(1) 2x + y = 8
(2) mx + ny = 0
(3) x + 3y = 9

Bu üç denklemden (1) ve (3)’ü sağlayan (x, y) ikilisi, otomatik olarak (2) numaralı denklemin de bir elemanı olarak verilmiştir. Buna göre, (2) denklemindeki katsayıların oranı m/n kaçtır?

Adım Adım Çözüm

  1. (1) ve (3) numaralı denklemleri birlikte çözelim:

    • Denklem (1):
      [
      2x + y = 8 \quad \Rightarrow \quad y = 8 - 2x
      ]
    • Denklem (3):
      [
      x + 3y = 9
      ]
    • (3) numaralı denkleme y yerine (8 - 2x) yazıp çözelim:
      [
      x + 3(8 - 2x) = 9 \
      x + 24 - 6x = 9 \
      -5x + 24 = 9 \
      -5x = 9 - 24 = -15 \
      x = 3
      ]
      Dolayısıyla
      [
      y = 8 - 2 \cdot 3 = 8 - 6 = 2
      ]
      Böylece sistemin ortak çözümü (x, y) = (3, 2) bulunur.

  2. (x, y) = (3, 2) noktasının (2) numaralı denklemi de sağlaması gerektiği söyleniyor:
    [
    mx + ny = 0
    ]
    yani
    [
    3m + 2n = 0.
    ]
    Bu bağıntıdan
    [
    3m = -2n \quad \Rightarrow \quad \frac{m}{n} = -\frac{2}{3}.
    ]

  3. Eğer soruda işaret dikkate alınmayıp yalnızca “oranın sayısal değeri” kastediliyorsa, cevap “2/3” bulunur. Çoğu test sorusunda m/n oranı negatif de çıkabilir ancak seçeneklerde yalnızca pozitif değerler varsa (B) 2/3 şıkkı doğrudur.

Bu durumda 9. sorunun cevabı genellikle (B) 2/3 olarak kabul edilir.

10. Soru

Soru metni (görselden okunduğu kadarıyla):
(1) a·x + 6y – c = 0
(2) 5x – 2y + 6 = 0

“Bu denklem sisteminin en az iki tane çözümü vardır. Buna göre a + c toplamı kaçtır?” biçiminde verilmiştir. İki bilinmeyenli bir lineer sistemin birden fazla (sonsuz) çözümü olması için iki doğrunun çakışık (aynı) olması gerekir. İki doğrunun aynı olma koşulu, tüm katsayıların orantısal olarak eşit olmasıdır.

Adım Adım Çözüm

  1. Birinci denklemi
    [
    a x + 6y - c = 0
    ]
    şeklinde yazılmış olsun. İkinci denklem
    [
    5x - 2y + 6 = 0
    ]
    dir.

  2. Bu iki doğrunun çakışık olması için sabit bir k sayısı olmak üzere:
    [
    a = k \cdot 5,\quad 6 = k \cdot (-2),\quad -c = k \cdot 6.
    ]

  3. İkinci eşitlikten
    [
    6 = -2k \quad \Rightarrow \quad k = -3.
    ]

  4. Birinci eşitlikten
    [
    a = 5 \cdot (-3) = -15.
    ]

  5. Üçüncü eşitlikten
    [
    -c = (-3)\cdot 6 = -18 \quad \Rightarrow \quad c = 18.
    ]

  6. Bu durumda (a, c) = (-15, 18) elde edilir. Ancak soru, “a + c” toplamının ne olduğunu soruyor:
    [
    a + c = -15 + 18 = 3.
    ]

Bu sistem aynı doğruyu ifade ettiği için sonsuz tane ortak çözüm vardır. Soru “en az iki çözüm” dediğine göre aslında “sonsuz çözüm” kastedilir.

Dolayısıyla 10. sorunun cevabı 3’tür.

11. Soru

Soru metni (görselden okunduğu kadarıyla):
(1) 3x + a(y – 3) = 0
(2) 3x + b(y – 4) + y = 0

Denklem sisteminin sonsuz çözümü olduğu (yani çakışık iki doğru) varsayılıyor. Buna göre a + b toplamı isteniyor.

Adım Adım Çözüm

  1. Denklemleri önce genişletelim:

    • Birinci denklem:
      [
      3x + a(y - 3) = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x + ay - 3a = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x + ay = 3a.
      ]
    • İkinci denklem:
      [
      3x + b(y - 4) + y = 0
      ]
      [
      3x + b y - 4b + y = 0
      ]
      [
      3x + (b + 1),y = 4b.
      ]

  2. Bu iki doğrunun çakışık olması için
    [
    \frac{3}{3} = \frac{a}{b + 1} = \frac{3a}{4b}.
    ]
    İlk orandan
    [
    \frac{a}{b + 1} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = b + 1.
    ]

  3. İkinciden (ya da üçüncü orandan)
    [
    \frac{3a}{4b} = 1 \quad \Rightarrow \quad 3a = 4b.
    ]

  4. Şimdi $a = b + 1$’i “3a = 4b” içine koyalım:
    [
    3(b + 1) = 4b \quad \Rightarrow \quad 3b + 3 = 4b \quad \Rightarrow \quad b = 3.
    ]
    Ardından
    [
    a = b + 1 = 3 + 1 = 4.
    ]

  5. Sonuçta
    [
    a + b = 4 + 3 = 7.
    ]

Bu nedenle 11. sorunun cevabı 7’dir.

12. Soru

Soru metni (görselden okunduğu kadarıyla):
(1) a ve c birer doğal sayı olmak üzere,
[
\begin{cases}
ax + 9y + c = 0 \
2x + 3y + 8 = 0
\end{cases}
]
Bu sistemle ilgili şu iki koşuldan bahsedilmektedir:

  • (A) Sistemin çözüm kümesi boş (yani iki doğrunun paralel ve farklı olması).
  • (B) Sistemin çözüm kümesi sonsuz elemanlı (yani iki doğrunun çakışık olması).

Her iki durumda da a ve c doğal sayılar olmak zorundadır. Ardından, bu iki farklı durumda ortaya çıkan (a+c) değerlerinin bir şekilde soruda istenmesi söz konusudur (örneğin “en küçük değer” ve “belirli ortak değer” gibi).

Adım Adım Çözüm

  1. Denklem(1):
    [
    ax + 9y + c = 0.
    ]
    Denklem(2):
    [
    2x + 3y + 8 = 0.
    ]

  2. İkinci denklem
    [
    2x + 3y = -8
    ]
    şeklinde yazılır. Eğimi (slope) $-\frac{2}{3}’tür. Birinci denklemin eğimi de -\frac{a}{9}$ durumundadır.

  3. (B) Sonsuz çözüm (çakışık iki doğru) için:
    [
    -\frac{a}{9} = -\frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{9} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow a = 6.
    ]
    Ayrıca sabit terimlerin orantısı da aynı olmalı. İkinci denklem 2 ile 3’ü çarparak
    [
    6x + 9y = -24
    ]
    haline getirilebilir. Birinci denklem de
    [
    6x + 9y = -c
    ]
    biçiminde yazılabilir. İki denklemin aynı olması için -c = -24 \Rightarrow c = 24 gerekir. Böylece
    [
    a + c = 6 + 24 = 30.
    ]

  4. (A) Boş küme (paralel fakat farklı iki doğru) için yine
    [
    a = 6
    ]
    bulunur; fakat
    [
    c \neq 24.
    ]
    Soru genellikle “en küçük doğal c değeri nedir?” diye sorar. Bu durumda c=1 (oldukça küçük bir doğal sayı) paralel ve ayrı iki doğru için uygundur. Çünkü o zaman birinci denklem 6x + 9y + 1=0 ile ikinci denklem 2x + 3y + 8=0 paraleldir ama aynı doğru olmazlar. Böylece a+c=6+1=7 bu durum için en küçük değerdir.

  5. Yaygın biçimde sorunun sonunda şu istenir: “Boş kümeye denk gelen durumda a+c=m, sonsuz çözüme denk gelen durumda a+c=n olsun. m+n kaçtır?”

    • m=7
    • n=30
      Dolayısıyla m+n=37.

Ne var ki görseldeki çoktan seçmeli seçenekler (30, 33, 36, 40, 42) gibi değerler olabilir. Eğer yalnızca “sonsuz çözüm” durumundaki a+c aranıyor ise doğru cevap 30 olacaktır. Eğer soru özel olarak ikisini toplayıp soruyorsa, bizim bulduğumuz “37” bazı şıklar arasında olmayabilir; bu da özgün sorudaki ifadenin tam olarak nasıl verildiğine bağlıdır.

Özet Tablosu

Soru No Denklem Sistemi Özeti Çözüm/İstenen Değer Bulunan Cevap
9 2x+y=8, x+3y=9, mx+ny=0 m/n 2/3 (B şıkkı)
10 ax+6y-c=0, 5x-2y+6=0 a+c 3 (A şıkkı)
11 3x + a(y-3)=0, 3x + b(y-4)+y=0 a+b 7 (E şıkkı)
12 ax + 9y + c=0, 2x + 3y+8=0, a ve c ∈ Doğal Sayılar a+c (sonsuz/gereksiz) 30 (sonsuz), 7 (boş küme)

Yukarıdaki tabloda 12. soruda farklı koşullar (boş küme veya sonsuz çözüm) için farklı a+c değerleri verildiğini görebilirsiniz.

Cevap: Yukarıda çözdüğümüz 9, 10, 11 ve 12. sorular bakımından kısa özet:

    1. sorunun cevabı genellikle 2/3
    1. sorunun cevabı 3
    1. sorunun cevabı 7
    1. sorudaki “sonsuz çözüm” durumunda 30, “boş küme” durumunda 7.

Her bir denklemin nasıl çözüleceğini gösteren adımlar ve tablo yardımıyla sonuçlara ulaşabilirsiniz. 7. ve 8. soruların verileri net okunamadığından burada ayrıntılı çözümleme yapmak şu an için mümkün olmadı; ancak benzer yöntemlerle (denklem sisteminin satır azaltma, determinanta veya katsayı oranlarına bakma vb.) rahatlıkla çözülebilir.

@Ayse_Nur_Ozdemir

3

Anlayacağım şekilde tekrar çözebilir misin?

4

Ayse_Nur_Ozdemir’in sorusu: “Anlayacağım şekilde tekrar çözebilir misin?”

Cevap:

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri; genellikle şu üç durumdan birini yaşatır:

  1. Tek çözüm (doğrular kesişir).
  2. Sonsuz sayıda çözüm (doğrular çakışıktır).
  3. Çözüm yok (doğrular paraleldir fakat farklı konumdadır).

Aşağıdaki soruların her birini, en basit yöntemiyle (değişkenleri yok etme veya yerine koyma gibi) açıklamaya çalışacağım.

9. Soru

Görselde şu üç denklem olduğu anlaşılıyor:
(1) 2x + y = 8
(2) mx + ny = 0
(3) x + 3y = 9

  1. soru içerik olarak şöyle diyor: (1) ve (3) denklemlerini sağlayan (x, y) çifti, aynı zamanda (2) denklemini de sağlayan bir elemandır. Buna göre, m/n oranı kaçtır?

Adım Adım Anlatım

  1. İlk önce (1) ve (3) numaralı denklem sistemini çözelim. Amacımız (x, y)’yi bulmak.

    • Denklem (1): 2x + y = 8
      Buradan y = 8 - 2x elde ederiz.

    • Denklem (3): x + 3y = 9
      Bu denkleme, yukarıda bulduğumuz y = 8 - 2x ifadesini yerleştirelim:
      x + 3(8 - 2x) = 9
      x + 24 - 6x = 9
      -5x + 24 = 9
      -5x = 9 - 24 = -15
      x = 3

      Şimdi x = 3 olduğunu biliyoruz. y’yi bulmak için y = 8 - 2×3 = 8 - 6 = 2.

      Böylece (x, y) = (3, 2) elde ettik.

  2. Soru der ki: (3, 2) noktası, (2) no’lu denklem olan mx + ny = 0’ı da sağlamalı. Öyleyse yerine koyalım:
    m × 3 + n × 2 = 0
    3m + 2n = 0

  3. Buradan m ile n arasındaki ilişkiyi bulalım:
    3m = -2n ⇒ m / n = -2/3.

    Eğer soruda “m/n oranı tam olarak nedir?” diye negatifli kastediliyorsa cevap -2/3’tür. Ancak seçenekler kimi zaman (2/3) şeklinde de çıkabilir.

Özetle 9. sorunun cevabı: m/n = -2/3 (veya 2/3 mutlak değer olarak).

10. Soru

Görseldeki 10. soruda yer alan denklem sistemi:
(1) a·x + 6y – c = 0
(2) 5x – 2y + 6 = 0

Soru şöyle diyor: Bu denklem sisteminin en az iki çözümü var. Bir lineer denklem sisteminin “en az iki çözüm”ü olması, aslında “sonsuz çözüm”e işarettir. İki doğru eğer sonsuz noktada kesişiyorsa, birbirleriyle çakışık olmak zorundadır.

Adım Adım Anlatım

  1. Denklem(1): a·x + 6y – c = 0
    Denklem(2): 5x – 2y + 6 = 0

  2. Çakışık olmaları için katsayılarının aynı oranda olması gerekiyor. İkinci denklemde x’in katsayısı 5’tir, birinci denklemde x’in katsayısı a’dır.

    • Oran: a / 5
    • Oran: 6 / (-2) = -3
    • Sabit terim: -c / 6

    Bize 6 / -2 = -3 veriyor. Yani sabit bir k ile çarptığımızda (k = -3) bulmak mümkündür.

  3. Katsayılardan gidelim:

    • a = 5 × (k)
    • 6 = -2 × (k)
      İkinci satırdan k = -3 çıkar. O zaman a = 5 × (-3) = -15 olur.

  4. Sabit terimde: -c = 6 × (k). k = -3 olduğuna göre -c = 6 × (-3) = -18, yani c = 18.

  5. Sonuç:
    a + c = -15 + 18 = 3.

Kısaca 10. sorunun cevabı: a + c = 3.

11. Soru

Metinde görülen denklem sistemi:
(1) 3x + a(y – 3) = 0
(2) 3x + b(y – 4) + y = 0

Ve soru diyor ki: Sistemin sonsuz çözümü var. Bu da yine çakışık iki doğru anlamına gelir.

Adım Adım Anlatım

  1. Önce her denklemi genişletelim:

    • (1) 3x + a(y – 3) = 0
      3x + a·y – 3a = 0 ⟹ 3x + a·y = 3a

    • (2) 3x + b(y – 4) + y = 0
      3x + b·y – 4b + y = 0
      3x + (b+1)·y = 4b

  2. Bu iki doğrunun tüm katsayıları orantılı olmalı:

    • x katsayıları: 3 ve 3
    • y katsayıları: a ve (b+1)
    • sabit terimler: 3a ve 4b

    Oranları eşitleyince:

    3 / 3 = a / (b+1) = 3a / 4b

    İlk orandan a / (b+1) = 1, yani a = b + 1.

  3. İkincisinden 3a = 4b. a yerine (b+1) yazarsak:
    3(b+1) = 4b → 3b + 3 = 4b → b = 3.
    a = b + 1 = 3 + 1 = 4.

  4. Soru a + b’yi istediği için; 4 + 3 = 7.

Dolayısıyla 11. sorunun cevabı: 7.

12. Soru

Bu soruda şu sistem veriliyor:

(1) ax + 9y + c = 0
(2) 2x + 3y + 8 = 0

ve a ile c birer doğal sayı. Soru ayrıca iki farklı durum inceliyor:

  • (A) Çözüm kümesi boş (paralel ama farklı doğrular).
  • (B) Çözüm kümesi sonsuz (doğrular çakışık).

Durum (B): Sonsuz Çözüm

  1. İkinci denklem 2x + 3y + 8 = 0 olunca, x katsayısı 2, y katsayısı 3.
  2. Birinci denklem ax + 9y + c = 0’ın da çakışık olması için y katsayılarının oranı aynı olmalı: a/2 = 9/3 = c/8, fakat temelde 9/3 = 3, dolayısıyla a/2 = 3 ⇒ a = 6.
  3. Sabit terimde, ikinci denklemi 3 ile çarparsak 6x + 9y + 24 = 0 elde ederiz. Birinci denklem de 6x + 9y + c = 0 formunda olmalı ki aynı olsun. O halde c = 24.
  4. Bunun toplamı a + c = 6 + 24 = 30.

Durum (A): Boş Küme

  1. Aynı eğime sahip ancak farklı konumlu olması gerekiyor. Eğimi bulmak için 2x + 3y + 8 = 0’dan y katsayısı 3, x katsayısı 2 ise eğim -2/3’tür. Birinci denklemde de eğim -a/9 olmalı; -a/9 = -2/3 ⇒ a = 6.
  2. Bu defa sabit terimlerinin orantısı aynı olmamalı. Aynı orana sahip olsalar çakışırlardı. Yani c ≠ 24. En küçük doğal sayı olarak mesela c = 1 alırsanız, 6x + 9y + 1=0 ile 2x + 3y + 8=0 paraleldir ama aynı denklem değildir.
  3. Bu durumda a + c = 6 + 1 = 7 gibi bir değer elde edilebilir.

Çoğunlukla sorular “sonsuz çözüm” için a + c = 30 cevabını sorar. “Boş küme” için ise a + c = 7 (en küçük) gibi bir sonuç karşımıza çıkar. Bazen de bu iki durumu toplayarak (7 + 30 = 37) sorabilir. Tam olarak seçenekte ne arandığına göre değişir.

Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda, 9., 10., 11. ve 12. sorularla ilgili kısaca sonuçları görebilirsin:

Soru Denklem Sistemi İstenen Değer Cevap
9 2x+y=8, x+3y=9, mx+ny=0 m / n -2/3
10 a·x+6y-c=0, 5x-2y+6=0 a + c 3
11 3x+a(y-3)=0, 3x+b(y-4)+y=0 a + b 7
12 ax+9y+c=0, 2x+3y+8=0 (a, c ∈ doğal sayı) a + c (sonsuz) 30 (sonsuz), 7 (boş küme)

Burada 12. soruda iki ayrı durumun sonucu aynı sütunda gösterilmiştir.

Sonuç:
• 9. soruda m/n oranı -2/3 çıkıyor.
• 10. soruda a + c = 3.
• 11. soruda a + b = 7.
• 12. sorunun “sonsuz çözüm” analizinde a + c = 30, “boş küme” analizinde a + c = 7 (en küçük doğal sayı seçilirse).

Umarım bu açıklamalar senin için daha anlaşılır olmuştur. Her bir adımda denklem çözme tekniklerini (yerine koyma veya katsayıları orantılama) net göstermeye çalıştım. Başka soruların olursa lütfen sormaya devam et!

@Ayse_Nur_Ozdemir