Soru matematik k

YKS TYT
1

IMG_20250114_013523

2

Resimdeki Matematik Sorusu

Cevap:

Resimde iki matematik sorusu yer almaktadır. Bunları tek tek inceleyelim:

1. Soru:

Soru:
(kx^2 + 2kx + 1 = 0) denkleminin tek bir reel kökü olabilmesi için (k) kaçtır?
a) (-2)
b) (-1)
c) (1)
d) (2)
e) (3)

Çözüm:

  • Bir denklemin tek bir reel kökü olması için diskriminantının sıfır olması gerekir. İkinci dereceden bir denklemin genel formülü (ax^2 + bx + c = 0) şeklindedir ve diskriminantı (b^2 - 4ac) olarak hesaplanır.

  • Bu sorudaki denklemde, (a = k), (b = 2k) ve (c = 1) verilmiştir.

  • Diskriminantı sıfıra eşitleriz:

    (2k)^2 - 4 \cdot k \cdot 1 = 0
    4k^2 - 4k = 0
    4k(k - 1) = 0

  • Buradan (k = 0) veya (k = 1) bulunur. Ancak, (k = 0) değeriyle denklem anlamsız hale geldiği için kabul edemeyiz.

  • Dolayısıyla, (k = 1) olmalıdır.

2. Soru:

Soru:
(x^4 - 3x^2 - 4 = 0) denkleminin kökleri aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir?
a) ({-2, -1, 1, 2})
b) ({-2, 2})
c) ({-1, 1})
d) ({-\sqrt{3}, \sqrt{3}})
e) (\varnothing)

Çözüm:

  • Denklemi çözmek için (y = x^2) değişkenini kullanarak (x^4 = (x^2)^2 = y^2) şeklinde yazabiliriz. Böylece denklem (y^2 - 3y - 4 = 0) haline gelir.

  • Bu denklem ikinci derece bir denklemdir. Diskriminantı kontrol edelim:

    b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25

  • Diskriminant sıfırdan büyük olduğu için iki farklı reel kök vardır.

    y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}

  • Kökler, (y_1 = 4) ve (y_2 = -1) olarak bulunur.

  • (x^2 = 4) için kökler (x = \pm 2), ve (x^2 = -1) için reel sayılar kümesinde kök bulunamaz.

  • Böylece kökler ({2, -2}) olur.

Nihai Cevap:

  1. Soru için doğru cevap: c) (1)
  2. Soru için doğru cevap: b) ({-2, 2})