Denklemler4

YKS TYT
1

IMG_20241127_161723
IMG_20241127_1617234160×1920 594 KB

2

3x² - 2x - 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Bu denklemi çözmek için ikinci dereceden denklemler için kullanılan kök formülünü kullanabiliriz:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Burada, a = 3, b = -2 ve c = -1 değerlerini yerine koyalım.

  1. Diskriminantı hesaplayalım:
    $$b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 3 \times (-1) = 4 + 12 = 16$$

  2. Kökleri bulalım:
    $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \times 3}$$
    $$x = \frac{2 \pm 4}{6}$$

    • Birinci kök:
      $$x_1 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

    • İkinci kök:
      $$x_2 = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Bu köklerden yola çıkarak, denklemin çözüm kümesi \{-\frac{1}{3}, 1\} olacaktır. Doğru cevap C şıkkıdır.

3

Daha açıklayıcı olabilir misiniz

4

Elbette! Denklemi daha detaylı ifade edelim.

İkinci Dereceden Denklemi Çözme Adımları

Denklem: (3x^2 - 2x - 1 = 0)

Bu bir ikinci dereceden denklem ve genel formu (ax^2 + bx + c = 0) olan denklemleri çözmek için kök formülünü kullanacağız:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]

Adım 1: Katsayıları Belirleyelim

  • (a = 3)
  • (b = -2)
  • (c = -1)

Adım 2: Diskriminantı Hesaplayalım

Diskriminant formülü (b^2 - 4ac) şeklindedir. Diskriminant bize köklerin gerçek ve farklı olup olmadığını söyler.

[
b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 3 \times (-1)
]

[
= 4 + 12
]

[
= 16
]

Diskriminant pozitif olduğu için, iki farklı gerçek kök vardır.

Adım 3: Kökleri Bulalım

Kökleri bulmak için kök formülünü kullanıyoruz:

[
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \times 3}
]

[
x = \frac{2 \pm 4}{6}
]

  • Birinci kökü bulalım:

[
x_1 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1
]

  • İkinci kökü bulalım:

[
x_2 = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}
]

Sonuç

Denklemin iki kökü vardır: (x_1 = 1) ve (x_2 = -\frac{1}{3}).

Bu nedenle, çözüm kümesi (\left{-\frac{1}{3}, 1\right}) olur. Bu da sorudaki C şıkkıdır.

5

Daha da açıklayıcı olabilir misiniz

6

Elbette, daha detaylı açıklayalım.

İkinci Dereceden Denklemleri Anlama

İkinci dereceden bir denklem genelde (ax^2 + bx + c = 0) şeklinde yazılır. Bu tür denklemler, bir parabol grafiğiyle temsil edilir ve iki kökü olabilir.

Adımları Detaylandırarak Çözüm

Denklemimiz: (3x^2 - 2x - 1 = 0)

Adım 1: Katsayıları Tanımla

  • (a = 3): (x^2) teriminin katsayısı.
  • (b = -2): (x) teriminin katsayısı.
  • (c = -1): Sabit terim.

Adım 2: Diskriminantı Bul

Diskriminant ((\Delta)) formülü: (b^2 - 4ac).

Diskriminantı Hesaplayalım:

  1. (b^2 = (-2)^2 = 4).
  2. (4ac = 4 \times 3 \times (-1) = -12).
  3. (\Delta = b^2 - 4ac = 4 - (-12) = 4 + 12 = 16).

Not: Eğer diskriminant ((\Delta)) pozitifse, iki farklı gerçek kök vardır.

Adım 3: Kökleri Bulma

Kök formülü:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
]

Bu formül, kökü bulmak için kullanılır.

Kökleri Hesapla:

  1. ( \sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4 ).

  2. Kök formülünü yerine koyma:
    [
    x = \frac{-(-2) \pm 4}{2 \times 3} = \frac{2 \pm 4}{6}
    ]

  3. Birinci kök:
    [
    x_1 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1
    ]

  4. İkinci kök:
    [
    x_2 = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}
    ]

Adım 4: Çözüm Kümesi

Denklemin iki kökü bulunmaktadır ve bu kökler denklemi sağlayan değerlerdir:

  • Birinci kök: (x = 1)
  • İkinci kök: (x = -\frac{1}{3})

Bu yüzden çözüm kümesi ({-\frac{1}{3}, 1}) olur ve bu da sorunun C şıkkındaki ifadedir.

Eğer başka bir konuda ya da adımda yardıma ihtiyacın olursa, sormaktan çekinme!