Matematik Sorusu
Soru:
(kx^2 + 2kx + 1 = 0) denkleminin tek bir reel kökünün olabilmesi için (k) ne olmalıdır?
Seçenekler:
a) -2
b) -1
c) 1
d) 2
e) 3
Cevap:
Bu problem, verilen ikinci dereceden denklemin tek bir reel kökü (aynı zamanda bu kök çift katlı olur) olması durumunu incelemekle ilgilidir. İkinci dereceden bir denklemin tek bir reel kökü olması için diskriminantının sıfır olması gerekir.
İkinci dereceden bir denklemin genel formülü:
[ ax^2 + bx + c = 0 ]
Bu denklemin diskriminantı ( \Delta ) aşağıdaki gibi tanımlanır:
[ \Delta = b^2 - 4ac ]
Verilen denklemimize göre:
- ( a = k )
- ( b = 2k )
- ( c = 1 )
Diskriminant formülümüzü kullanalım:
[ \Delta = (2k)^2 - 4 \cdot k \cdot 1 = 4k^2 - 4k ]
Tek bir kök olması için diskriminant sıfır olmalıdır:
[ 4k^2 - 4k = 0 ]
Bu denklemi çözelim:
- ( 4k(k -1) = 0 )
Bu çarpanları sıfıra eşitleyelim:
- ( 4k = 0 ) ⇒ ( k = 0 )
- ( k - 1 = 0 ) ⇒ ( k = 1 )
Sonuç
Denklemin tek bir reel kökü olması için ( k = 1 ) olmalıdır. Bu durumda, denklemin yalnızca bir reel ve çift katlı kökü olacaktır.
Sonuç Cevap:
( k = 1 ) olmalıdır.