x² + (2k+2)x - 1 = 0 denklemi ile x² + 3x + 2k-2 = 0 denkleminin birer kökü ortaktır. k ∈ R-oldu-ğuna göre k kaçtır?
x² + (2k+2)x - 1 = 0 denklemi ile x² + 3x + 2k - 2 = 0 denkleminin birer kökü ortak verilmiş. k değerini bulmamız isteniyor. Bu sorunun çözümünü adım adım inceleyelim.
1. Problemin Tanımlanması
İkinci dereceden iki farklı denklemin birer kökü ortaksa, bu kök her iki denklemde de yerine yazıldığında doğru sonuç vermelidir. Yani;
Eğer ortak kök x₀ ise, bu kök aşağıdaki iki denklemi de sağlayacaktır:
- $$ x₀^2 + (2k+2)x₀ - 1 = 0 $$
- $$ x₀^2 + 3x₀ + 2k - 2 = 0 $$
Aynı x₀ kökü bu iki denkleme de uygun olduğu için bu denklemler üzerinde kökü yok etmek üzere işlem yapabiliriz.
2. Denklemler Arası Ortaklık Kurulması
Bir denklemden diğerine geçiş yapmak için iki denklem arasındaki bağlantıdan faydalanabiliriz. İşlemi şu şekilde yapıyoruz:
Adım 1: İlk denklem
$$ x₀^2 + (2k+2)x₀ - 1 = 0 $$
Buradan, x₀^2'yi yalnız bırakalım:
$$ x₀^2 = - (2k+2)x₀ + 1 $$
Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyacağız.
Adım 2: İkinci denklem
$$ x₀^2 + 3x₀ + 2k - 2 = 0 $$
Birinci denklemden elde ettiğimiz x₀^2 = -(2k+2)x₀ + 1 ifadesini bu denklemde yerine yazalım:
$$ (-(2k+2)x₀ + 1) + 3x₀ + 2k - 2 = 0 $$
Şimdi parantezleri açıp sadeleştirelim:
$$ -(2k+2)x₀ + 1 + 3x₀ + 2k - 2 = 0 $$
$$ (-2k-2)x₀ + 3x₀ + 1 + 2k - 2 = 0 $$
Aynı türdeki terimleri birleştirelim:
- x₀ içeren terimler: $$ (-2k-2 + 3)x₀ = (1 - 2k)x₀ $$
- sabit terimler: $$ 1 - 2 = -1 $$
- k içeren sabit terimler: $$ +2k $$
Bunu düzenleyip yazalım:
$$ (1 - 2k)x₀ + 2k - 1 = 0 $$
3. İkinci Denklemden Kök Bağımsızlığı
Ortak kökü bulmak için, bu denklemin her iki tarafını x₀'dan bağımsız hale getirebiliriz. Ortak köke göre düzenleyelim:
- Eğer x₀ \neq 0 varsayımı yaparsak:
$$ (1 - 2k)x₀ + 2k - 1 = 0 $$
$$ x₀ \cdot (1 - 2k) = -(2k - 1) $$
Ancak kökleri incelemen süreç kal bir substitUltimately.
x² + (2k+2)x - 1 = 0 ve x² + 3x + (2k-2) = 0 denklemlerinin birer kökü ortaktır. k kaçtır?
Cevap:
Öncelikle ortak kökü α olarak kabul edelim. Bu durumda α aşağıdaki iki denklemi sağlar:
- α² + (2k+2)α - 1 = 0
- α² + 3α + (2k - 2) = 0
Bu iki denklemden birincisini ikincisinden çıkartırsak, ortak köke ait bir ilişki bulabiliriz. Çıkarma işlemi:
(α² + (2k+2)α - 1) - (α² + 3α + 2k - 2) = 0
Düzenleyelim:
• α² - α² = 0
• (2k + 2 - 3)α = (2k - 1)α
• -1 - (2k - 2) = -1 - 2k + 2 = 1 - 2k
Dolayısıyla sonuç:
(2k - 1)α + (1 - 2k) = 0
Adım 1: (2k - 1) ≠ 0 durumunu inceleyelim
(2k - 1) ≠ 0 ⇒ k ≠ 1/2
Bu durumda:
(2k - 1)α = 2k - 1
α = 1
Yani ortak kök α = 1 olabilir. Şimdi bu α = 1 değerini her iki denklemde yerine yazarak k değerini bulalım:
• Birinci denklemde:
1² + (2k + 2)(1) - 1 = 0
1 + 2k + 2 - 1 = 0
2k + 2 = 0
2k = -2
k = -1
• İkinci denklemde (k = -1 için kontrol):
x² + 3x + 2(-1) - 2 = x² + 3x - 2 - 2 = x² + 3x - 4
Ortak kök olarak x = 1 koyalım:
1² + 3(1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0
Bu da sağlandığına göre k = -1 değeri her iki denklemin de köklerinden birinin ortak olmasını sağlamaktadır.
Adım 2: (2k - 1) = 0 durumunu inceleyelim
(2k - 1) = 0 ⇒ k = 1/2
Bu değerde, iki denklem aynı hale gelir:
- Birinci denklem: x² + (2·(1/2) + 2)x - 1 = x² + (1 + 2)x - 1 = x² + 3x - 1
- İkinci denklem: x² + 3x + 2·(1/2) - 2 = x² + 3x + 1 - 2 = x² + 3x - 1
Görüldüğü gibi k = 1/2 değerinde iki denklem tamamen aynıdır ve bu durumda iki ortak kökleri (yani tüm kökleri) ortak olur. Oysaki “birer kökü ortaktır” genellikle “sadece bir kök” ortaktır anlamında kullanılır. Dolayısıyla denklemler birbirinin aynısı olduğunda iki kök de ortak olacağı için bu istenen koşula uymaz.
Bu nedenle k = -1 denklemlerin sadece bir kökü ortak olacak şekilde çözümü sağlar.
Özet Tablo
| Denklem | Ortak Kök Şartı | Sonuç |
|---|---|---|
| x² + (2k+2)x - 1 = 0 | α ortak kök olmak üzere | α = 1 ⇒ 2k + 2 = 0 |
| x² + 3x + 2k - 2 = 0 | Aynı α’yı sağlamalı | 1² + 3(1) + 2k - 2 = 0 |
| (2k - 1)α + 1 - 2k = 0 | α = 1 | k = -1 (tek ortak kök) |
| (2k - 1) = 0 (k=1/2) kontrolü | İki denklem aynı olur (2 ortak kök) | Bir kök ortak şartına uymaz |
Sonuç
k = -1 değerinde iki denklem birer kökünü ortak paylaşır. (k = 1/2 değerinde ise iki denklem tüm kökleriyle örtüşerek tamamen aynı olur.)