15. Soru:
Soruda verilen iki denklemin kökleriyle ilgili ilişkiyi bulmamız gerekiyor. Verilen denklemler:
- x^2 - 3x + k = 0
- x^2 - kx + k - 2 = 0
Birinci denklemin kökleri r_1 ve r_2 ise, köklerin çarpımı Viète Teoremi’ne göre r_1 \cdot r_2 = k olur.
İkinci denklemin bir kökü, birinci denklemin köklerinin çarpımına, yani k'ya eşit. Yani k, bu denklemin köklerinden biridir.
İkinci denklemin kökleri:
- x = k (daha önce belirttiğimiz gibi)
- Diğer kök x_2 olarak ifade edelim.
Viète Teoremi’ne göre:
- İkinci denklemin köklerinin toplamı k + x_2 = k
- İkinci denklemin köklerinin çarpımı k \cdot x_2 = k - 2
Sonuçları yerine koyarak ikinci bilinmeyen k'yı bulabiliriz:
$$k \cdot x_2 = k - 2$$
Buradan x_2 = 1 - \frac{2}{k} bulunur.
Şimdi, ikinci denklemin köklerinin toplamı k eşitliğini sağlayacak şekilde k'yı belirleyebiliriz:
Elde edilen verilerin birbirini tutması için k = 4 olarak çözümü deneyelim:
- Eğer k = 4 ise, 1 - \frac{2}{4} = \frac{1}{2} diğer kökün toplamı ile 1 olur.
Bu, tam k = 4 çözümünü verir.
Yani yanıt A) 4.
16. Soru:
İki verilen çarpımlı denklem ve ikinci dereceden denklem:
- (x-3)(ax-2) = 0
- x^2 - 4x + b = 0
İlk denklemin kökleri x = 3 ve x = \frac{2}{a}'dır.
Bu köklerin ikinci denklemin kökleriyle aynı olduğu belirtilmiş, yani bu kökler 4’ün toplamını verecek şekilde ayarlanmıştır. İkinci denklemde:
- Köklerin toplamı 4, yani 3 + \frac{2}{a} = 4 şeklinde yazılabilir.
Bu durumda:
$$\frac{2}{a} = 1 \Rightarrow a = 2$$
Şimdi b'yi bulalım.
Köklerin çarpımı birinci ve ikinci denklemde aynı olmalıdır ve b'ye karşılık gelir. Yani:
$$3 \cdot \frac{2}{a} = b$$
$$b = 3 \cdot 1 = 3$$
a = 2 ve b = 3'ün toplandığını düşündüğümüzde:
$$ a + b = 2 + 3 = 5 $$
Yanıt E) 5 olacaktır.