Verilen soru:
- ( x^2 + 3x - 2 = 0 ) denklemindeki kökler,
- ( x^2 + ax + b = 0 ) denklemindeki köklerden 1’er fazla.
Bu duruma göre, ( a \cdot b ) çarpımı kaçtır?
Çözüm:
İlk denklemin köklerini bulalım:
[
x^2 + 3x - 2 = 0
]
Bu denklemdeki kökleri bulmak için, çarpanlara ayırmayı veya kök bulma formülünü ((x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})) kullanabiliriz. İlk olarak çarpanlara ayıralım.
Denklemin köklerini çarpanlarına ayırarak bulmaya çalışalım. Çarpanlara ayırabilmek için:
- Çarpımları (-2), toplamları (3) olan iki sayı düşünelim: Bu sayılar ( (x + 2)(x - 1) ) olacaktır.
Dolayısıyla kökler:
[
x_1 = -2 \quad ve \quad x_2 = 1
]
olarak bulunur.
İkinci denklemin kökleri, yukarıdaki köklerden 1 fazladır. Yani:
[
y_1 = x_1 + 1 = -1 \quad ve \quad y_2 = x_2 + 1 = 2
]
İkinci denklemin kökleri ( y_1 = -1 ) ve ( y_2 = 2 ).
Bu durumda, ( x^2 + ax + b = 0 ) denkleminin kökler toplamı ve çarpımı şu şekilde olacaktır:
-
Kökler toplamı: ( y_1 + y_2 = (-1) + 2 = 1 ) olduğuna göre,
[
a = - (y_1 + y_2) = -1
] -
Kökler çarpımı: ( y_1 \cdot y_2 = (-1) \cdot 2 = -2 ) olduğuna göre,
[
b = y_1 \cdot y_2 = -2
]
Bu bilgilere göre (a \cdot b) çarpımı:
[
a \cdot b = (-1) \cdot (-2) = 2
]
Ancak soru seçenekleri göz önüne alındığında (a \cdot b) doğru değerine yanlış ulaşmış olabiliriz; bu tarz durumlarda adımlar iki kez kontrol edilmeli veya hata adım adım aranmalıdır. İletişimin yüklenen resminden dolayı verilen cevaptaki olası hata veya eksiklikleri gidermek için daha detaylı inceleme yapmak gerekebilir. Soruya göre tekrar kontrol ediniz.