Problem:
Verilen denklem x^2 + 3x - 2 = 0 için k sayısının bir kök olduğunu düşünün. Buna göre k(k+1)(k+2)(k+3) çarpma işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Öncelikle, verilen denklem x^2 + 3x - 2 = 0'i çözelim ve kökleri bulalım. Denklemimizi çözerken, çarpanlara ayırma veya kök bulma yöntemlerinden birini kullanabiliriz. Burada, kök bulma yöntemini kullanalım:
Quadratic formül kullanarak ifade edersek:
ax^2 + bx + c = 0'da, kökler x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} olarak verilir.
Burada a = 1, b = 3, ve c = -2. Bu durumda:
Bu köklerden biri k sayısıdır. Ancak, \sqrt{17} irrasyonel bir sayı olduğu için hangi kökün k olduğuna karar vermeliyiz.
Bize verilen problemde, k sayısının 9’dan küçük olduğu belirtiliyor. Bu nedenle:
- k_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}
- k_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}
Bu köklerden hangisinin 9’dan küçük olduğunu inceleyelim:
\sqrt{17} yaklaşık olarak 4.123 olarak bilinir. Bunu denklemlerimizde yerine koyarsak:
- k_1 = \frac{-3 + 4.123}{2} \approx \frac{1.123}{2} \approx 0.5615
- k_2 = \frac{-3 - 4.123}{2} \approx \frac{-7.123}{2} \approx -3.5615
Dolayısıyla k = k_1 = 0.5615 (yaklaşık değerle 0.56) olarak alınacaktır çünkü k bir köktür ve 9’dan küçüktür.
Bu durumda, k(k+1)(k+2)(k+3) ifadesinin hesaplanmasına gelelim:
- k \approx 0.5615
- k+1 \approx 1.5615
- k+2 \approx 2.5615
- k+3 \approx 3.5615
Şimdi bu değerleri çarpalım:
$$k(k+1)(k+2)(k+3) \approx 0.5615 \cdot 1.5615 \cdot 2.5615 \cdot 3.5615$$
Yaklaşık hesaplamayla şu sonucunu buluruz:
- 0.5615 \cdot 1.5615 \approx 0.8765
- 2.5615 \cdot 3.5615 \approx 9.1183
- 0.8765 \cdot 9.1183 \approx 7.995
Bu sonucumuz 8’e çok yakın olduğu için en uygun cevap B) 8 olacaktır.