Bu probleme birlikte bakalım:
Verilen iki denklem var:
- ( x^2 + 3x - 2 = 0 )
- ( x^2 + ax + b = 0 )
İlk denklemin köklerini bulalım:
Kökleri bulmak için, ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulmak adına kullanılan formül olan (\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}) formülünü kullanacağız. Burada, (a = 1), (b = 3), ve (c = -2).
Delta ((\Delta)) hesaplayalım:
[
\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17
]
Kökler:
[
x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}
]
Bu, köklerin ( x_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} ) ve ( x_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} ) olduğunu gösterir.
İkinci denklemin kökleri, bu köklerden birer fazla olduğuna göre:
[
x_1’ = x_1 + 1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} + 1
]
[
x_2’ = x_2 + 1 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} + 1
]
Bu kökleri de açalım:
[
x_1’ = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}
]
[
x_2’ = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}
]
( x^2 + ax + b = 0 ) denklemine göre yeni kökler:
Bu köklerden yeni denklemin katsayıları şu şekildedir:
-
Köklerin toplamı (Viete bağıntılarına göre), ( x_1’ + x_2’ = -a )
[
\frac{-1+\sqrt{17}}{2} + \frac{-1-\sqrt{17}}{2} = -a
]
[
\frac{-2}{2} = -a
]
[
a = 1
] -
Köklerin çarpımı (Viete bağıntılarına göre), ( x_1’ \cdot x_2’ = b )
[
\left( \frac{-1+\sqrt{17}}{2} \right) \cdot \left( \frac{-1-\sqrt{17}}{2} \right) = b
]
Bu ifade, iki terim arasında tam kare farkı olduğundan:
[
b = \frac{(1^2 - (\sqrt{17})^2)}{4} = \frac{1 - 17}{4} = \frac{-16}{4} = -4
]
Sonuç olarak ( a = 1 ) ve ( b = -4 ).
( a \cdot b = 1 \cdot (-4) = -4 ) olması beklerken, soru bankasında hata olabilir veya bu adımlar tekrar kontrol edilmelidir çünkü soruda (a \cdot b) sonucu pozitif verilmiş. Ancak şu anki hesaplamalar bu sonucu veriyor. Yanında doğru olanları tanımlayabilir veya sorunun yorumunu veya kitabını inceleyebilirsiniz.