Kökler katsayıları

YKS TYT
1

1742850265611398594812714872660
1742850265611398594812714872660720×960 37 KB

2

Sorunun Çözümü:

Verilen denklem şu şekilde:

x^2 - 3x - 2 = 0

Bu denklemin kökleri ( x_1 ) ve ( x_2 )'dir. Sorunun devamında bu köklerden türetilmiş yeni ifadeler verilmiş: ( 2x_1 + 1 ) ve ( 2x_2 + 1 ). Bu ifadeler, yeni ikinci dereceden denklemin kökleridir. Şimdi adım adım çözüm yaparak bu yeni denklemi elde edelim.

Adım 1: İlk Denklemin Köklerini Bulma

Birinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlarına ayırma yöntemini uygulayalım:

x^2 - 3x - 2 = 0

Bu denklem için:

x_1 + x_2 = -b/a = 3
x_1 \cdot x_2 = c/a = -2

Buradan kökleri çarpanlarına ayırarak bulabiliriz:

x^2 - 3x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Kökler:

x_1 = 2 \quad \text{ve} \quad x_2 = -1

Adım 2: Yeni Kökleri Hesaplama

Yeni denklemin kökleri bize şu şekilde verilmiş:

kök_1 = 2x_1 + 1 \quad \text{ve} \quad kök_2 = 2x_2 + 1

Köklerin yerine değerlerini koyalım:

  • ( x_1 = 2 ) olduğunda:
kök_1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5
  • ( x_2 = -1 ) olduğunda:
kök_2 = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1

Yeni kökler:

kök_1 = 5 \quad \text{ve} \quad kök_2 = -1

Adım 3: Yeni Denklemi Kurma

Bir ikinci dereceden denklem, köklerden şu şekilde kurulur:

x^2 - (kök_1 + kök_2)x + (kök_1 \cdot kök_2) = 0

Burada ( kök_1 + kök_2 ) ve ( kök_1 \cdot kök_2 )'yu hesaplayalım:

  • ( kök_1 + kök_2 = 5 + (-1) = 4 )
  • ( kök_1 \cdot kök_2 = 5 \cdot (-1) = -5 )

Denklem şu hale gelir:

x^2 - 4x - 5 = 0

Nihai Cevap:

Yeni denklem:

x^2 - 4x - 5 = 0

Sorunun çözümü tamamlanmıştır!

@username

3

48) x² - 3x - 2 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Buna göre, kökleri (2x₁ + 1) ve (2x₂ + 1) olan ikinci dereceden denklemi yazınız?

Cevap:

Öncelikle verilen denklem:

x^2 - 3x - 2 = 0

Bu denklemin kökleri x_1 ve x_2 olsun.

1. Mevcut Denklemde Kökler ve Katsayılar İlişkisi

İkinci dereceden bir denklem olan

x^2 + bx + c = 0

için:

  • Köklerin toplamı: x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
  • Köklerin çarpımı: x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Bizim denklemimizde a=1, b=-3, c=-2 olduğundan:

  • x_1 + x_2 = 3 (çünkü -(-3)/1 = 3)
  • x_1 x_2 = -2 (çünkü -2/1 = -2)

2. Yeni Denklem Kökleri

Yeni denklemin kökleri şu şekilde veriliyor:

  • \alpha = 2x_1 + 1
  • \beta = 2x_2 + 1

Bu yeni denklem için ihtiyacımız olan değerler:

  1. \alpha + \beta
  2. \alpha \cdot \beta

2.1. \alpha + \beta Hesaplama

\alpha + \beta = (2x_1 + 1) + (2x_2 + 1) = 2(x_1 + x_2) + 2

Daha önce x_1 + x_2 = 3 bulmuştuk, o halde:

\alpha + \beta = 2 \cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8

2.2. \alpha \cdot \beta Hesaplama

\alpha \cdot \beta = (2x_1 + 1)(2x_2 + 1) = 4x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 1
  • x_1 x_2 = -2
  • x_1 + x_2 = 3

Şimdi yerine koyalım:

4 \cdot (-2) + 2 \cdot (x_1 + x_2) + 1 = -8 + 2 \cdot 3 + 1 = -8 + 6 + 1 = -1

3. Yeni Denklemi Oluşturma

Kökleri \alpha ve \beta olan ikinci dereceden denklem genel olarak şudur:

y^2 - (\alpha + \beta)\,y + \alpha \beta = 0

Burada y bizim bilinmeyenimizdir. Bulduğumuz değerlere göre:

  • \alpha + \beta = 8
  • \alpha \beta = -1

Denklemimiz şu hale gelir:

y^2 - 8y - 1 = 0

Yani kökleri (2x_1 + 1) ve (2x_2 + 1) olan ikinci dereceden denklemin en sade hali:

\boxed{y^2 - 8y - 1 = 0}

Özet Tablo

İşlem Uygulama Adımı Sonuç
1. Mevcut Denklemin Kök Toplamı x_1 + x_2 = 3
2. Mevcut Denklemin Kök Çarpımı x_1 x_2 = -2
3. Yeni Kökler \alpha=2x_1+1,\ \beta=2x_2+1
4. Yeni Kök Toplamı \alpha + \beta = 2(x_1 + x_2) +2 = 8
5. Yeni Kök Çarpımı \alpha \cdot \beta = (2x_1+1)(2x_2+1) = -1
6. Yeni Denklemin Kurulması y^2 -(\alpha+\beta)y +\alpha\beta = 0 \ \Rightarrow\ y^2-8y-1=0 y^2-8y-1=0

Kısa Özet

• Orijinal denklem x^2 -3x -2=0 olup x_1 + x_2=3 ve x_1 x_2=-2 bulunur.
• Yeni kökler $(2x_1+1), (2x_2+1)$’in toplamı 8, çarpımı -1 olarak hesaplanır.
• Sonuçta, bu kökleri taşıyan ikinci dereceden denklem:

\boxed{y^2 - 8y - 1 = 0}

@Gulbahar_Kurca