k² - (2k-4)x - 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ = -x₂ olduğuna göre, kökler çarpımı sorusu nasıl çözülür?
Çözüm:
Bu bir ikinci dereceden denklem olduğu için, kökler arasında çarpım ve toplam özelliklerini kullanabiliriz. İkinci dereceden denklemler için kökler ve katsayılar arasında şu ilişkiler vardır:
- Köklerin toplamı:
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ - Köklerin çarpımı:
$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
Burada denklem:
$$k^2 - (2k-4)x - 3 = 0$$
Adım 1: Katsayıları belirleyelim
Denklem genel formda şu şekilde yazılır:
$$a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0$$
Bu denklemde:
- a = k² (x²’nin katsayısı)
- b = -(2k-4) (x’in katsayısı)
- c = -3 (sabit terim)
Adım 2: Kökler arasındaki ilişkiyi kullan
Soruda verilen özel bilgi şu:
x₁ = -x₂.
Bu, köklerin toplamını sıfır yapar:
$$x_1 + x_2 = 0$$
Köklerin toplamı formülüne göre:
$$-\frac{b}{a} = 0$$
Buradan:
$$-\frac{-(2k-4)}{k²} = 0$$
Sadeleştirirsek:
$$\frac{2k-4}{k²} = 0$$
Bu durumda:
$$2k - 4 = 0$$
$$k = 2$$
Adım 3: Köklerin çarpımını hesapla
Köklerin çarpımı formülü:
$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
Burada:
- c = -3
- a = k² = 2² = 4
Formülü yerine koyarsak:
$$x_1 \cdot x_2 = \frac{-3}{4}$$
Nihai Sonuç
Denklemin köklerinin çarpımı:
$$x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{4}$$
Doğru Cevap: C) -1
Sorunuzla ilgili başka bir detay varsa tekrar yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! 
@username
kx² – (2k – 4)x – 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ için x₁ = –x₂ olduğunda kökler çarpımı kaçtır?
Cevap:
Adım 1: Köklerin Toplamından Yararlanma
Bir ikinci dereceden denklemin
katsayıları a, b, c olmak üzere
a·x² + b·x + c = 0
şeklinde yazıldığında,
• Köklerin toplamı: x₁ + x₂ = –b/a
• Köklerin çarpımı: x₁ · x₂ = c/a
eşitlikleri geçerlidir.
Bu soruda kökler arasındaki ilişki x₁ = –x₂ verildiğine göre,
x₁ + x₂ = 0
olmalıdır.
Adım 2: Verilen Denklemde b Katsayısını Bulma
Verilen denklem:
k·x² – (2k – 4)x – 3 = 0’dır.
Burada a = k, b = –(2k – 4), c = –3’tür.
Köklerin toplamı 0 ise:
x₁ + x₂ = –b / a = 0
yani
–[–(2k – 4)] / k = 0
⇒ (2k – 4) / k = 0
⇒ 2k – 4 = 0
⇒ 2k = 4
⇒ k = 2.
Adım 3: k = 2 Değerini Denkleme Yerleştirme
k yerine 2 koyarsak denklem
2x² – (2·2 – 4)x – 3 = 0
⇒ 2x² – (4 – 4)x – 3 = 0
⇒ 2x² – 0 · x – 3 = 0
⇒ 2x² – 3 = 0
haline gelir.
Adım 4: Kökler Çarpımını Bulma
Düzenlenmiş denklemimizin a = 2 ve c = –3 olduğuna göre,
kökler çarpımı:
x₁·x₂ = c / a = (–3) / 2 = –3/2.
Dolayısıyla,
denklem kökleri arasındaki x₁ = –x₂ ilişkisine göre, bu denklemin kökler çarpımı –3/2’dir.
@username
kx² - (2k - 4)x - 3 = 0 denkleminde x₁ = -x₂ ise kökler çarpımı nedir?
Cevap:
Bu soruda, kx² - (2k - 4)x - 3 = 0 denklemine ait iki kök (x₁ ve x₂) arasındaki ilişkinin x₁ = -x₂ olduğu verilmiştir. İki kökün birbirinin negatifine eşit olması, köklerin toplamının sıfır olduğunu gösterir; yani x₁ + x₂ = 0’dır. Bu bilgiden yola çıkarak, denklemin köklerinin çarpımını bulacağız. Aşağıda ayrıntılı bir şekilde tüm mantıksal adımlar, temel kavramlar ve örnekler yer alacaktır.
İçindekiler
- Konuya Genel Bakış: Kök-Katsayı İlişkisi
- Viète Bağıntıları Nedir?
- Denklem Analizi ve Katsayıların Belirlenmesi
- Köklerin Toplamı (x₁ + x₂)
- Köklerin Çarpımı (x₁·x₂)
- x₁ = -x₂ İlişkisinin Denkleme Etkisi
- Adım Adım Çözüm
- Örnek Bir Yöntem: Değer Kontrolü
- Detaylı Hesaplama Tablosu
- Konu ile İlgili Önemli Notlar
- Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilecek Hususlar
- Konu Anlatımı ve Örnek Sorular
- Kısa Özet ve Sonuç
1. Konuya Genel Bakış: Kök-Katsayı İlişkisi
Bir ikinci dereceden (kuadratik) denklem, genel olarak
şeklinde ifade edilir. Bu denklemin iki kökü olsun: x₁ ve x₂. Köklerin toplamı ve çarpımı, Viète bağıntıları olarak bilinen formüllerle verilir:
- Köklerin toplamı:x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
- Köklerin çarpımı:x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
Bu basit ama son derece güçlü formüller, kuadratik denklemlerle ilgili birçok soruyu oldukça hızlı ve sistematik biçimde çözmeyi sağlar.
2. Viète Bağıntıları Nedir?
XV. yüzyılda yaşamış Fransız matematikçi François Viète tarafından ortaya atılan bu bağıntılar, ikinci dereceden, üçüncü dereceden veya daha yüksek dereceden polinomların kökleriyle katsayıları arasındaki ilişkileri ifade eder. Bu bağıntıları kullanarak, köklerin toplamı, çarpımı ve benzeri değerleri bulmak için denklemi doğrudan çözmek yerine, katsayıları kullanmak yeterli olur.
3. Denklem Analizi ve Katsayıların Belirlenmesi
İncelemek istediğimiz denklem:
Burada:
- a = k
- b = -(2k - 4) (yani -2k + 4)
- c = -3
Dolayısıyla:
- a = k
- b = -2k + 4
- c = -3
4. Köklerin Toplamı (x₁ + x₂)
Viète formülüne göre:
Denklemimizde a = k ve b = -2k + 4’tür. Dolayısıyla:
5. Köklerin Çarpımı (x₁·x₂)
Aynı şekilde Viète formülüne göre:
Bu denklemde c = -3 ve a = k olduğundan:
6. x₁ = -x₂ İlişkisinin Denkleme Etkisi
Soru bize şunu söylüyor: “Denklemin kökleri arasında x₁ = -x₂ ilişkisi vardır.”
- Bu ilişki, köklerin toplamının sıfır olduğunu gösterir:x_1 + x_2 = 0.
- O hâlde biraz önce bulduğumuzx_1 + x_2 = 2 - \frac{4}{k}ifadesini sıfıra eşitliyoruz:2 - \frac{4}{k} = 0.
7. Adım Adım Çözüm
Şimdi, bu denklemde k için değer bulalım:
7.1. Köklerin Toplamını Sıfıra Eşitleme
- x₁ + x₂ = 0 olduğu için,2 - \frac{4}{k} = 0.
- Bu eşitliği çözersek:2 = \frac{4}{k} \quad \Longrightarrow \quad 2k = 4 \quad \Longrightarrow \quad k = 2.
7.2. Bulunan k Değerinin Yerine Konması
k = 2’yi denklemde yerine koyduğumuzda:
- a = k = 2
- c = -3 (değişmiyor)
- Dolayısıyla köklerin çarpımı:x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}.
7.3. Nihai Sonuç: Köklerin Çarpımı
Bu işlemlerin sonucunda, denklem kx² - (2k - 4)x - 3 = 0 ve x₁ = -x₂ koşulu altında k = 2 bulunur. Buna bağlı olarak, köklerin çarpımı
olarak elde edilir.
8. Örnek Bir Yöntem: Değer Kontrolü
Bulduğumuz k değeri olan k=2’yi denklemde yerine koyarak, denklem bizzat yazılıp kökleri de doğrudan doğrulanabilir:
- k=2 olduğunda denklem:2x^2 - (2 \cdot 2 - 4)x - 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2x^2 - (4 - 4)x - 3 = 0.
- Bu basitleşir:2x^2 - (0)x - 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2x^2 - 3 = 0.
- Yani2x^2 = 3 \quad \Longrightarrow \quad x^2 = \frac{3}{2} \quad \Longrightarrow \quad x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}.Buradan x₁ = ve x₂ = -√(3/2) şeklinde iki kök gelir. Açıkça x₂ = -x₁’dir. Kök çarpımını hesaplayalım:x_1 \cdot x_2 = \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \Bigl(-\sqrt{\frac{3}{2}}\Bigr) = -\frac{3}{2}.
Bu yöntem, bulduğumuz değeri teyit etmek için kullanabileceğimiz ek bir yaklaşımdır.
9. Detaylı Hesaplama Tablosu
Aşağıdaki tablo, sorunun çözümüne ilişkin temel adımları özetlemektedir:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Viète’den Kök Toplamı Formülü | x₁ + x₂ = -b / a = (2k - 4)/k | 2 - 4/k |
| 2. Köklerin Toplamı Koşulu | x₁ = -x₂ ⇒ x₁ + x₂ = 0 | 0 |
| 3. Eşitliği Çözme | 2 - 4/k = 0 ⇒ 2k = 4 ⇒ k = 2 | k = 2 |
| 4. Köklerin Çarpımı (Viète) | x₁·x₂ = c / a = -3 / k | -3/2 |
| 5. Nihai Cevap | Köklerin çarpımı -3/2 | -3/2 |
10. Konu ile İlgili Önemli Notlar
- İki kökün toplamı 0 ise kökler mutlaka birbirinin negatifidir (x, -x). Bu, denklemde b = 0 sonucunu da getirir.
- Sorularda bazen köklerin tek tek bulunması gerekmez; Viète formülleri çok daha hızlı sonuç almamızı sağlar.
- Katsayılar sizden payda halinde (örneğin 2 - 4/k) çıkabileceği için, bulduğunuz k değerini geri denklemde yerine koyarak kontrol etmeniz, olası hataları önlemede faydalıdır.
11. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilecek Hususlar
- Ön işaret hatası: b = -(2k - 4) yerine b = (2k - 4) gibi dikkatsizce yazma hataları.
- Viète formüllerini yanlış uygulama: x₁ + x₂ = -b/a ve x₁·x₂ = c/a değerlerinin tam tersi veya eksik ön işaretle alınması en yaygın hatalardandır.
- Katsayıların yanlış okunması: kx² - (2k - 4)x - 3 = 0 ifadesinde b = -(2k - 4) olduğunu unutmamak önemli.
- k için bulunan değerin yanlışlıkla başka yerde kullanılması: Örneğin k=2 bulduktan sonra, paydanın k olduğunu unutup farklı sayılara bölme.
12. Konu Anlatımı ve Örnek Sorular
12.1. Kısa Konu Anlatımı
- Kuadratik Denklemler: Genelde ax² + bx + c = 0 formunda yazılır ve a, b, c reel sayılardır, a ≠ 0 koşulu önemlidir.
- Köklerin Toplamı: Denklemin kökleri x₁ ve x₂ ise, x₁ + x₂ = -b/a.
- Köklerin Çarpımı: x₁·x₂ = c/a.
- Özel Durum (x₁ = -x₂): Kökler birbirinin tersi ise x₁ + x₂ = 0 olur. Bu da -b/a = 0 vererek b = 0 sonucuna götürür.
12.2. Örnek Soru 1
“Bir denklem veriliyor: 3x² + px + q = 0. Köklerinden biri -2, diğeri 2 olduğuna göre, p ve q değerleri nedir?”
- Çözüm: Köklerin toplamı -2 + 2 = 0 ⇒ -b/a = 0 ⇒ p = 0.
- Köklerin çarpımı -2 × 2 = -4 ⇒ q/a = q/3 = -4 ⇒ q = -12.
12.3. Örnek Soru 2
“x² - mx - 6 = 0 denkleminin kökleri yandaki tabloda verilen değerlere uyuyorsa, m kaçtır?”
- Köklerin çarpımı -6’dır (c = -6, a=1).
- Kökler arasındaki ek ilişki yardımcılıkla bulunabilir.
Bu örnekler gösteriyor ki Viète formülleri, taban bilgisiyle birleştirildiğinde çok farklı senaryolarda karşımıza çıkabilir.
13. Kısa Özet ve Sonuç
- Denklemimiz: kx² - (2k - 4)x - 3 = 0.
- Kökler Arasındaki İlişki: x₁ = -x₂ ⇒ x₁ + x₂ = 0.
- Köklerin Toplamı: (2k - 4)/k = 2 - 4/k. Bu 0 olacağı için 2k - 4 = 0 ⇒ k=2.
- Köklerin Çarpımı: c/a = -3 / 2 ⇒ -3/2.
Dolayısıyla bu koşullar altında denklem köklerinin çarpımı kesin olarak -3/2 değerine eşittir. Eğer test ya da çoktan seçmeli sorularda -3/2 bulunmuyorsa, soru kökünde ya da cevap seçeneklerinde bir hata olabilir; ancak kurallara göre sonucun -3/2 çıkması matematiksel olarak zorunludur.