Matematik 26 ki

YKS TYT
1

IMG_20250114_014400
IMG_20250114_014400648×146 74.7 KB

2

Problemleri Çözme

4. Soru:

x^2 - 4x + 2 = 0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2'dir. Buna göre, x_1^2 + x_2^2 toplamının değeri kaçtır?

Çözüm:

Öncelikle, köklerin toplamı ve çarpımını bulmak için Vieta formüllerini kullanacağız:

  • Köklerin toplamı: x_1 + x_2 = 4.
  • Köklerin çarpımı: x_1 \cdot x_2 = 2.

x_1^2 + x_2^2 ifadesini x_1 + x_2 ve x_1 \cdot x_2 cinsinden açalım:

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2.

Yerine koyarsak:

x_1^2 + x_2^2 = 4^2 - 2 \cdot 2 = 16 - 4 = 12.

Final Cevap:

x_1^2 + x_2^2 toplamının değeri 12’dir. (d) şıkkı doğru cevap.

5. Soru:

(k-1)x^2 - 3x + 4k = 0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2'dir. Kökler arasında x_1 + x_2(1 + x_1) = 3 olduğuna göre, k kaçtır?

Çözüm:

Bu tür problemleri çözmek için yine Vieta formüllerini kullanacağız. Bu denklemin kökleri için Vieta’ya göre yazabiliriz:

  • Köklerin toplamı: x_1 + x_2 = \frac{3}{k-1}.
  • Köklerin çarpımı: x_1 \cdot x_2 = \frac{4k}{k-1}.

Problemin koşulunu kullanarak:

x_1 + x_2(1 + x_1) = 3

Bunu açarsak:

x_1 + x_2 + x_1x_2 = 3

x_1 + x_2 = \frac{3}{k-1} ve x_1x_2 = \frac{4k}{k-1} yerine koyulursa:

\frac{3}{k-1} + \frac{4k}{k-1} = 3

Bu ifadenin tamamını k-1 ile çarparak denklemi basitleştirelim:

3 + 4k = 3(k-1)

İşlemleri yapalım:

3 + 4k = 3k - 3

Her iki tarafı da sadeleştirerek:

4k - 3k = -3 - 3
k = -6.

Final Cevap:

k değeri -6’dır. (b) şıkkı doğru cevap.