Matematik Soruları Çözümü
Cevap:
14. Soru Çözümü
Verilen denklemin kökleri ( x_1 ) ve ( x_2 ) dir ve ( x_1 = x_2^2 ) olduğuna göre, ( m ) değerini bulmamız gerekiyor:
x^2 + (m+2)x + 8 = 0
Adım 1: Kökler Formülü
Bir denklemin kökleri şu formülle bulunabilir:
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
Bu durumda ( a = 1 ), ( b = m + 2 ), ( c = 8 ).
Bu sebeple:
- ( x_1 + x_2 = -(m + 2) )
- ( x_1 \cdot x_2 = 8 )
x1, x2 köklerinin eşitliği verilmiştir. Bu nedenle:
x_1 = x_2^2
Adım 2: İkinci Denklem Kurulumu
x2 yerine x1/x2 yazılabilir:
x_1 \cdot \left(\frac{x_1}{x_1}\right) = 8 \\
x_1 = x_2^2 = 8,
olacaktır.
Adım 3: Denklemleri Birleştirme ve Kökleri Bulma
Kökler arası ilişkiyi bulmak için:
x_1 = 4 \quad \text{ve} \quad x_2 = 2, \text{ ya da } \quad x_1 = -4 \quad \text{ve} \quad x_2 = -2
olmalıdır. Biz, ( x_1 = x_2^2 ) olduğuna göre:
- ( x_2 = 2 ) olduğunda: ( x_1 = 4 )
- Dolayısıyla: ( x_1 + x_2 = 4 + 2 = 6 )
Bu durumda:
-(m + 2) = 6 \Rightarrow m = -8
15. Soru Çözümü
Verilen denklem:
x + \frac{2}{x} = \frac{9}{2}
Denklemi çözmek için öncelikle eşitliğin her iki tarafını da ( x ) ile çarpabiliriz:
x^2 + 2 = \frac{9x}{2} \\
2x^2 - 9x + 4 = 0
Adım 1: Diskriminant Hesabı
Diskriminant formülü:
D = b^2 - 4ac
Bu durumda ( a = 2 ), ( b = -9 ), ( c = 4 ):
D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 \\
D = 81 - 32 = 49
Adım 2: Köklerin Bulunması
Kök formülü:
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
Kökleri hesaplayalım:
x = \frac{9 \pm 7}{4}
Bu durumda:
- ( x_1 = \frac{16}{4} = 4 )
- ( x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} )
Nihai Çözüm Kümesi:
Verilen denklem için çözüm kümesi:
\left\{ \frac{1}{2}, 4 \right\}
Yanıtlar:
-
- soru için doğru cevap: (a) -8
-
- soru için doğru cevap: (a) \left\{ \frac{1}{2}, 4 \right\}