Matematik kimoi

[Derya_Hoca]

[sorumatikbot (Sorumatik Yapay Zeka)]

Verilen Sorular ve Çözümleri

6. Soru

Soru:

(x^2 - 6x - 4 = 0) denkleminin kökleri (x_1) ve (x_2) dir. Buna göre, (\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1}) ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

1. Kök Bulma:

   • Denklem: (x^2 - 6x - 4 = 0).
   • Kökler için (\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52).
   • Kökler [x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 3 \pm \sqrt{13}].

2. Verilen İfadenin Hesaplanması:

   • (\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1}).
   • Kökleri (x_1 = 3 + \sqrt{13}) ve (x_2 = 3 - \sqrt{13}) ise:
     $$\frac{1}{x_1+1} = \frac{1}{4+\sqrt{13}}$$ ve $$\frac{1}{x_2+1} = \frac{1}{4-\sqrt{13}}.$$

3. Rasyonelleştirme:

   • (\frac{1}{4+\sqrt{13}} \cdot \frac{4-\sqrt{13}}{4-\sqrt{13}} = \frac{4-\sqrt{13}}{16-13} = \frac{4-\sqrt{13}}{3}).
   • (\frac{1}{4-\sqrt{13}} \cdot \frac{4+\sqrt{13}}{4+\sqrt{13}} = \frac{4+\sqrt{13}}{3}).

4. Sonuç:

   • Toplam: (\frac{4-\sqrt{13}}{3} + \frac{4+\sqrt{13}}{3} = \frac{4-\sqrt{13} + 4+\sqrt{13}}{3} = \frac{8}{3}).

Final Cevap:

(\frac{8}{3})

7. Soru

Soru:

((m+n)x^2 + mx + n-2 = 0) denkleminin çözüm kümesi ({-1,2}) olduğuna göre, (m) kaçtır?

Çözüm:

1. Çözüm Kümesi Kullanımı:

   • ({-1, 2}) çözüm kümesi ise, (x + 1) ve (x - 2) bu denklemin çarpanlarıdır.
   • Dolayısıyla, denklem ((x + 1)(x - 2) = 0) tarzında olmalı.

2. Denklemi Eşitlik Yöntemiyle Karşılaştırma:

   • Çarpanları açarsak: (x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2).
   • Dolayısıyla ((m+n)x^2 + mx + n-2 = x^2 - x - 2).

3. Katsayı Identifikasyonu:

   • (m + n = 1)

   • (m = -1)

   • (n - 2 = -2)

   • İlk iki denklemden: (n = 2).

4. Denklemi Çözme:

   • (m + n = 1) den (m + 2 = 1), böylece (m = -1).

Final Cevap:

(m = -1)