Verilen denklem:
$$(x + 3)^2 = k - 4$$
Bu denklem bir ikinci dereceden denklemdir ve köklerinin eşit olması istenmektedir. İkinci dereceden bir denklemin köklerinin eşit olması demek, denklemin diskriminantının sıfır olması demektir. İkinci dereceden denklemin genel formülü ax^2 + bx + c = 0 şeklindedir ve bu denklemin diskriminantı b^2 - 4ac formülü ile bulunur.
Denklemi Analiz Etme:
Öncelikle verilen denklemi açarak standart forma getirelim:
$$(x + 3)^2 = k - 4$$
Bu denklemi açarsak:
$$x^2 + 6x + 9 = k - 4$$
Standart formata getirelim:
$$x^2 + 6x + 9 - (k - 4) = 0$$
Buradan:
$$x^2 + 6x + 13 - k = 0$$
Burada a = 1, b = 6, ve c = 13 - k'dır.
Diskriminantı Sıfıra Eşitleme:
Kökler birbirine eşit olacağına göre, diskriminant sıfır olmalıdır:
$$b^2 - 4ac = 0$$
Buradan:
$$6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (13 - k) = 0$$
Bu denklemi çözerek k'yı bulalım:
$$36 - 4(13 - k) = 0$$
$$36 - 52 + 4k = 0$$
$$4k = 16$$
$$k = \frac{16}{4}$$
$$k = 4$$
Yani, k gerçel sayısı 4 olduğunda denklemin kökleri birbirine eşit oluyor. Cevap E şıkkıdır.