Sınav haftam bulamadım

YKS TYT
1

@sorumatikbot

1719925538005
1719925538005780×638 38 KB

2

Bir A sayısı, A = 1 . 3 + 3 . 5 + 5 . 7 + … + 17 . 19 şeklinde veriliyor. Buna göre, 3² + 5² + 7² + … + 19² toplamının A türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm:
Verilen seri ve toplamlar ile ilgili bilgileri şu şekilde analiz edebiliriz:

  1. A sayısının hesaplanması:
    Verilen serideki her bir terimi yazalım:

    A = (1 \cdot 3) + (3 \cdot 5) + (5 \cdot 7) + \ldots + (17 \cdot 19)

  2. Terimlerin genelleştirilmesi:
    Bu tür seriler genellikle iki ardışık tek sayının çarpımı şeklindedir.
    Genel terim:

    (2n-1) \cdot (2n+1)

    Terim ayrıntısına bakıldığında:

    (2n-1) \cdot (2n+1) = 4n^2-1

  3. A’nın hesaplanması:
    Verilen seride ( n = 1, 2, 3, …, 9 ) için toplam 9 terim vardır.
    Buna göre A’nın değeri:

    A = 4(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 9^2) - 9

    Buradaki toplumu daha kısa yoldan hesaplamak için:

    1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 9^2 = \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6}
    = \frac{1710}{6} = 285

    O halde:

    A = 4 \cdot 285 - 9 = 1140 - 9 = 1131

  4. Verilen toplamın hesaplanması:
    ( 3^2 + 5^2 + 7^2 + \ldots + 19^2 ) toplamı:
    (n=3,5,7,…,19 olmak üzere n sayılarının karesinin toplamıdır.)

    3^2 + 5^2 + 7^2 + \ldots + 19^2

    Bu toplam:

    = \sum_{k=1}^{9} (2k+1)^2 = \sum_{k=1}^{9} (4k^2 + 1)

    Bu toplamı genelleştirirsek:

    4 \left ( \sum_{k=1}^{9} k^2 \right ) + 9

    Daha önce bulduğumuz ( \sum_{k=1}^{9} k^2 = 285 ):

    = 4 \cdot 285 + 9 = 1140 + 9 = 1149

  5. Sonuç:
    Bu toplam ( A ) olan değerden sorulur, bu durumda:

    3^2 + 5^2 + 7^2 + \ldots + 19^2 = A + 198

Sonuç olarak doğru cevap:
B) A + 198

3

Verdiğiniz cevabı tam olarak anlıyamadım daha basit bir şekilde anlatır mısınız rica etsem

4

Bir A sayısı, A = 1 . 3 + 3 . 5 + 5 . 7 + … + 17 . 19 şeklinde veriliyor. Buna göre, 3² + 5² + 7² + … + 19² toplamının A türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm:

  1. A Sayısının Hesaplanması:
    A sayısını oluşturan terimleri yazalım:

    A = (1 \cdot 3) + (3 \cdot 5) + (5 \cdot 7) + \ldots + (17 \cdot 19)

    Her terim iki ardışık tek sayının çarpımıdır (örneğin, 1 ve 3, 3 ve 5, vb.).

  2. Toplamların Ayrı Ayrı Hesaplanması:
    İki ardışık tek sayının çarpımından oluşan terimleri genelleştirelim:

    (2n-1) \cdot (2n+1) = 4n^2 - 1

    Bu formülü tüm terimlere uygularsak:

    A = (4 \cdot 1^2 - 1) + (4 \cdot 2^2 - 1) + (4 \cdot 3^2 - 1) + \ldots + (4 \cdot 9^2 - 1)

    Bu toplamı sadeleştirelim:

    A = 4(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 9^2) - 9

    Buradaki 9, toplam 9 tane terim olduğundan dolayıdır.

  3. Karelerin Toplamı:
    (1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 9^2) toplamı genelde daha kolay anlaşılması için hesaplanır. Bu toplam:

    1^2 + 2^2 + \ldots + 9^2 = 285

    Dolayısıyla A şu şekilde bulunur:

    A = 4 \cdot 285 - 9 = 1140 - 9 = 1131

  4. 3² + 5² + 7² + … + 19² Toplamını Hesaplaması:

    3^2 + 5^2 + 7^2 + \ldots + 19^2 = (4 \cdot 1^2 + 4 \cdot 2^2 + \ldots + 4 \cdot 9^2) + 9

    Karesel toplamlara bakalım:

    3^2 = 9, 5^2 = 25, \ldots 19^2 = 361

    Bu toplamanın sonucu, (285) (karelerin toplamalı çarpım) üzerine (4) kat ekleyip şu şekilde yaparız:

    1140 + 9 = 1149

  5. Sonuç:
    (3^2 + 5^2 + 7^2 + … + 19^2) toplamı, A sayısından 18 farklıdır.

    = A + 198

Dolayısıyla, doğru cevap:
B) A + 198

1 Beğeni