A ve B doğal sayıdır. ( A^2 = B^2 + 19 ) olduğuna göre, A ve B çarpımı kaçtır?
Cevap:
Bu soruyu çözmek için, ( A ) ve ( B ) doğal sayılarını bulmamız gerekmektedir. Öncelikle verilen denklemi inceleyelim:
A^2 = B^2 + 19
Bu denklemi yeniden düzenleyerek farkın karesi formunu kullanabiliriz:
A^2 - B^2 = 19
Farkın karesi formunu kullanarak:
(A - B)(A + B) = 19
19 asal bir sayı olduğundan, yalnızca iki çarpanı vardır: 1 ve 19. Dolayısıyla, ( A - B ) ve ( A + B ) çiftleri yalnızca şu şekilde olabilir:
- (A - B = 1) ve (A + B = 19)
- (A - B = 19) ve (A + B = 1) (Bu durumda (B) negatif olacağı için bu seçeneği eliyoruz)
İlk çifti ele alarak çözümleyelim:
- (A - B = 1)
- (A + B = 19)
Bu iki denklemi toplarsak:
A - B + A + B = 1 + 19 \implies 2A = 20 \implies A = 10
Birinci denklemi (A = 10) yerine koyarak, (B)'yi bulalım:
10 - B = 1 \implies B = 9
Dolayısıyla (A = 10) ve (B = 9). Şimdi, A ve B çarpımını hesaplayalım:
A \cdot B = 10 \cdot 9 = 90
Sonuç:
A ve B çarpımı ( \boxed{90} ).