A=6.11+7.13+8.15+…+15. 29
A sayısı her bır teriminin birinci çarpanı 1 artırılır, ikinci çarpanı1 azaltılırsa A toplamı nasıl değisir
A=6 \cdot 11 + 7 \cdot 13 + 8 \cdot 15 + \ldots + 15 \cdot 29 A sayısı her bir terimin birinci çarpanı 1 artırılır, ikinci çarpanı 1 azaltılırsa A toplamı nasıl değişir?
Cevap:
Verilen toplam A = 6 \cdot 11 + 7 \cdot 13 + 8 \cdot 15 + \ldots + 15 \cdot 29 olarak tanımlanmış.
Bu terimler tek tek ele alındığında her bir terimin birinci çarpanının 1 artırılıp, ikinci çarpanının 1 azaltılması gerektiği belirtilmiş. Bu durumda her bir terimi şu şekilde formüle edebiliriz:
1. Mevcut Durum:
A = \sum_{n=6}^{15} n \cdot (2n - 1)
2. Yeni Durum (Değişiklik Sonrası):
Her bir terimi şu şekilde değiştiriyoruz:
(n + 1) \cdot (2n - 2)
Şimdi bu değişikliğin ne şekilde olduğunu anlayalım:
Yeni Durumun Dağıtılması:
(n + 1) (2n - 2) teriminin açılımı:
(n + 1)(2n - 2) = 2n^2 + 2n - 2n - 2 = 2n^2 - 2
Eski Durumun Dağıtılması:
n \cdot (2n - 1) teriminin açılımı:
n (2n - 1) = 2n^2 - n
Farkı İnceleme:
Yeni durumu eski durumdan çıkararak değişimi bulalım:
2n^2 - 2 - (2n^2 - n) = -2 + n
Toplam Üzerinde Etki:
Her terim bu kadar fark yaratacak ve toplamda n değerleri 6’dan 15’e kadar değiştiği için her biri için (n - 2) kadar etki olacaktır.
Sonuç:
Değişimin tüm terimler üzerindeki etkisi toplam olarak bu şekilde olacaktır:
\sum_{n=6}^{15} (-2 + n) = \sum_{n=6}^{15} n - \sum_{n=6}^{15} 2
Bu ifadeyi hesaplayarak, toplam üzerinde net etkiyi bulacağız:
\sum_{n=6}^{15} n = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 105
\sum_{n=6}^{15} 2 = 2 \times 10 = 20
Dolayısıyla, toplam üzerindeki net etki:
105 - 20 = 85
Final Sonuç:
Toplamda net artış: 85
Sonuç olarak, her bir terimin birinci çarpanını 1 artırıp ikinci çarpanını 1 azaltırsanız, toplam 85 artacaktır.