Çözüm
Sorunun Anlamı ve Veriler
-
a sayısı:
- İki basamaklı bir doğal sayı.
- 4 ile bölümünden kalan 3’tür. Yani a \equiv 3 \pmod{4}.
-
b sayısı:
- İki basamaklı bir doğal sayı.
- 9 ile bölümünden kalan 7’dir. Yani b \equiv 7 \pmod{9}.
Amacımız
a + b toplamının en fazla değerini bulmamız gerekiyor.
1. a’nın Alabileceği Maksimum Değer
a, iki basamaklı bir sayı olduğundan, \pmod{4} eşitliğini sağlayan en büyük iki basamaklı sayıyı bulalım.
a \equiv 3 \pmod{4} koşuluna göre:
- a = 4k + 3 biçimindedir (burada k doğal bir sayı).
- En büyük iki basamaklı a için:
4k + 3 \leq 99
Buradan 4k \leq 96 ve k \leq 24 elde edilir.
- Öyleyse, k = 24 alınır ve a = 4 \times 24 + 3 = 99 olur.
2. b’nin Alabileceği Maksimum Değer
b, iki basamaklı bir sayı olduğundan, \pmod{9} eşitliğini sağlayan en büyük iki basamaklı sayıyı bulalım.
b \equiv 7 \pmod{9} koşuluna göre:
- b = 9m + 7 biçimindedir (burada m doğal bir sayı).
- En büyük iki basamaklı b için:
9m + 7 \leq 99
Buradan 9m \leq 92 ve m \leq 10 elde edilir.
- Öyleyse, m = 10 alınır ve b = 9 \times 10 + 7 = 97 olur.
3. Toplamı Hesaplayalım
a + b toplamının en fazla değeri:
a + b = 99 + 97 = 196
Sonuç Tablosu
| Sayı | Koşul | Maksimum Değer |
|---|---|---|
| a | a \equiv 3 \pmod{4} | 99 |
| b | b \equiv 7 \pmod{9} | 97 |
| Toplam (a+b) | — | 196 |
Cevap
Buna göre, a+b en fazla 196 olabilir.