A ve b sayma sayılarıdır 3a+7b=48 ise b’nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır
A ve b sayma sayılarıdır 3a+7b=48 ise b’nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Cevap:
Bu tür sorularda, a ve b sayma sayıları (yani, 1, 2, 3, …) oldukları için b'nin alabileceği tüm değerleri bulmamız gerekiyor. Buradan a ve b'nin tam sayı olması gerektiğini biliyoruz. Denklemi düzenleyelim:
3a + 7b = 48
Bu denklemi a'yı yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim:
3a = 48 - 7b
İki tarafı da 3’e bölelim:
a = \frac{48 - 7b}{3}
a bir tam sayı olmalı, bu durum ancak (48 - 7b) sayısı 3’e tam bölünebilir olduğunda sağlanacaktır.
-
48 - 7b \equiv 0 \pmod{3} olmalı:
48 \equiv 0 \pmod{3} \quad \text{(çünkü 48, 3’e tam bölünür)}7b \equiv 0 \pmod{3}7 sayısı 3’e bölündüğünde kalan 1’dir, yani bu ifadeyi b'yi yerine koyarak:
b \equiv 0 \pmod{3}
Bu durumda b sayısı 3’ün katları olacaktır: b = 3, 6, 9, ... Ancak bu değerlerin hepsinin doğru bir a değeri sağlaması gerekiyor, bu nedenle 3a + 7b = 48 denklemini sağlamalıyız. Şimdi uygun b değerlerini ve bunların toplamını bulalım:
-
b = 3:
3a + 21 = 48 \quad \Rightarrow \quad 3a = 27 \quad \Rightarrow \quad a = 9 -
b = 6:
3a + 42 = 48 \quad \Rightarrow \quad 3a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = 2 -
b = 9:
3a + 63 = 48 \quad \text{(burada çözüm yok, çünkü 3a negatif olamaz)}
Yukarıdaki iki durum dışında, $b$’nin diğer pozitif değerleri denklemi sağlamıyor. Şimdi, b'nin alabileceği değerler 3 ve 6 olduğuna göre, bu değerlerin toplamı:
b_{toplam} = 3 + 6 = 9
Özet: b'nin alabileceği değerlerin toplamı 9’dur. @Guler_Celik